Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/98

_83 § 23 служить верхней его границей. Итакъ, верхняя граница, если таковая су- ществуегъ, можетъ быть только о-ша. Чтобы доказать ея существоваше, замЕтимъ, что относительно каж- даго числа г мы должны сказать одно изъ двухъ: либо въ нашемъ ком- комплексе есть число т, превышающее г— таюя числа г будем ь обозначать бук- буквой г, либо же ни одно число т нашего комплекса не превышаетъ числа /'; таюя числа г обозначимъ буквой с'. Легко видеть, что имеются какъ числа с, такъ и числа с': къ числамъ г' относятся вс-fe тЬ рацюнальныя чи- числа /", которыя превышають число t; къ числамъ с относятся Bet, те pauio- нальцыя числа /', когорыя меньше нт^котораго определеннаго числа т на- нашего комплекса 1. Любое число с меньше любого числа с', такъ что чи- числа с, с' образуютъ сечете С/ (У и опред'Ьляютъ некоторое число у, ко- которое, какь легко усмотреть, удовлетворяетъ услов1ямъ а) и Ь). Действительно, если бы нашлось хоть одно число т комплекса Т, превышающее у, го существовало бы рацюнальное число /' такого рода, что у<С'<Ст, и это число /' сь одной стороны, будучи меньше т, дол- должно быгь отнесено къ числамъ с, съ другой стороны, превышая у, оно должно быть отнесено кь числамь с'9); мы заключаемь изъ этого про- тиворЬч1я, что ни одно число т нашего комплекса не превышаетъ числа у. Если же ? <¦ у, то между числами ? и у заключено некоторое число с, следовательно, согласно опредЪлешю чиселъ с, существуетъ нт.когорое число т, удовлетворяющее услов1ю ? <С с <С^ ^ у, такъ что число у обладаетъ также и свойством ь bi- 2. Аналогично доказывается следующее предложеше: Если все числа комплекса Г превышаютъ некоторое число /', то сущее гвуетъ одно и только одно число у', имеющее следуюиия два свой- свойства: а') Число у' не превышаетъ ни одного числа нашего комплекса Т. Ъ') Если же некоторое число г' больше числа у', то въ комплексе Т можно указать по крайней мере одно число т', которое заключено между числами у' и с', такъ что т' удовлетворяетъ неравенству: у'=?=т'<?' Это число у' называетсялнижней границей числового комплекса Т. Существоваже ея доказывается тЬмъ же путемъ, что и существоваше верхней границы, или же проще такъ: числовой комплексъ—Г, состоя- состояний изъ чиселъ—т,—т', ... имЕетъ, по доказанному, верхнюю границу; переменив ь знакь ея, получимъ нижнюю границу комплекса Т. Некото- Некоторые комплексы имЬютъ только верхнюю границу, друпе—только ниж- нижнюю. Такь напримеръ, комплексъ положительныхъ чиселъ имеетъ сво- своей нижней границей нуль, а верхней границы не имеетъ. Наоборотъ, со- 9) См. примЕчаше 8).