Бесконечность, понятие, играющее очень важную роль в математике. Прежде всего Б. появляется в математике, как бесконечное число предметов некоторого комплекса, т. е. как такое число предметов в комплексе, которое не может быть сосчитано. Бесконечно число целых чисел, число дробей, число точек на прямой, число хорд или диаметров окружности и т. д. При этом понимании Б. мы представляем себе некоторый действительно существующий комплекс элементов, в котором количество элементов превосходит всякое число и потому числом не может быть выражено. Такого рода Б. называют актуальной Б., т.-е. статической, выражающей одновременное существование неисчислимого количества объектов. От Б. актуальной отличают Б. виртуальную или потенциальную, выражающую лишь возможность неограниченно продолжать некоторый процесс. Мы вписываем в окружность правильный многоугольник, затем удваиваем число его сторон, затем вновь удваиваем число сторон и т. д. Этот процесс мы можем вести бесконечно; это значит, за каждым шагом процесса возможен следующий шаг того же процесса. При таком понимании Б. мы не рисуем себе статически существующего бесчисленного множества объектов; мы представляем себе только процесс, который может неограниченно продолжаться. Различие между актуальной и виртуальной Б. ясно представлял себе уже Аристотель.
Идея о виртуальной Б. возникла в математике в связи с теми приемами, из которых позже развился современный анализ бесконечно малых (см. высшая математика). При определении длины кривой линии в нее вписывали ломаную линию, число сторон которой неограниченно возрастало, а самые стороны неограниченно убывали; по длинам этих изменяющихся ломаных линий судили о длине самой кривой. Аналогично этому для определения площади, ограниченной кривой линией, таковую представляли себе разбитой на прямоугольники, которые тем более „исчерпывали“ измеряемую площадь, чем больше становилось их число и чем меньше становились они сами; такой же прием употребляли для определения объема тела, ограниченного криволинейной поверхностью. Эти приемы вполне сознательно применяет Архимед, они приобретают новую силу в трудах Кавальери (XVII ст.) и проникают собой современный анализ. В основе этого метода всегда лежит некоторый процесс, отдельные моменты которого могут продолжаться неограниченно в этом и заключается виртуальная его Б.
Понятие о виртуальной Б., как о неограниченном процессе, несравненно отчетливее, нежели понятие о статической Б.; поэтому оно легче усваивалось и приобрело сторонников, утверждавших и утверждающих, что допустима только виртуальная Б., — что актуально бесконечное не только реально не существует, но и недопустимо логически. Сообразно этому предлагали такую интерпретацию актуально бесконечного, которая сводит это понятие к виртуальной Б. Так, говорили, что выражение „количество чисел бесконечно“ означает только следующее: сколько бы ни назвали чисел, можно назвать еще одно число; выражение: „на отрезке имеется бесконечное множество точек“ означает, что мы можем представить себе на отрезке еще одну точку, сколько бы точек мы ни представили себе на нем раньше. На это сторонники актуально бесконечного возражали, однако, что мы потому именно и можем (виртуально) назвать еще одно число, сколько бы их ни было названо раньше, что количество чисел актуально бесконечно велико; что мы потому именно и можем всегда взять лишнюю точку на отрезке, что число точек на отрезке актуально бесконечно велико. В этом круге в течение столетий вращался спор между сторонниками актуально бесконечного и виртуально бесконечного. В эпохи, когда преобладало метафизическое мировоззрение, брало верх учение об актуальной Б.; в его неразгаданной таинственности усматривали даже ключ к своеобразному объяснению и разрешению труднейших философских проблем; так, теологи очень охотно пользовались актуальной Б. для примирения тех противоречий, которые им ставила на вид научная критика. Напротив, всякий раз, как получало преобладание положительное знание, актуальная Б. уступала место виртуальной.
С XVII и XVIII ст. понятие о Б. начинает приобретать в математике преобладающее значение и при том в двух направлениях. С одной стороны, возникает понятие о бесконечно-малом, с другой стороны — понятие о бесконечном ряде, о суммировании бесконечно большого числа бесконечно малых. Конечный образ представляют себе состоящим из множества весьма малых составных частей; эти весьма малые части, „элементы“, подчиняются более простым законам, чем конечные величины; так, напр., „элементы“ кривой линии можно отождествлять с их хордами, „элементы тела“ разнородной плотности можно принимать за однородные в себе, всякое движение в продолжение „элемента времени“ можно принимать за равномерное и т. д. Все эти утверждения получают действительное и вполне ясное значение, если на них смотреть с точки зрения виртуальной: дуга кривой тем менее отличается от своей хорды, чем она меньше; в небольшой части разнородного тела плотность изменяется тем меньше, чем меньше взятая часть тела (тем больше оно приближается к однородному); всякое движение тем меньше отличается от равномерного, чем меньше промежуток времени, в течение которого мы его рассматриваем. Но в увлечении широкими горизонтами, которые раскрыли великие идеи Лейбница и Ньютона, у математиков выработалось представление, что конечные образы действительно (актуально) разбиваются на бесконечно малые элементы, обладающие совершенно иными свойствами, чем образы, которые из них составлены. Так как эти взгляды содержат в себе зерно здоровой и плодотворной истины, хотя и неправильно выраженной, то они получили весьма широкое распространение, а применение их привело к величайшим открытиям. Так. обр. в конце XVII и в первой полов. XVIII в. актуально бесконечное завоевало себе довольно прочное место в математике; на-ряду с обыкновенными, конечными величинами математики трактовали величины бесконечно большие и бесконечно малые, как действительно, актуально существующие, но подчиненные другим законам, связанные иными соотношениями, чем величины конечные. Так, напр., если А есть величина конечная, а α бесконечно малая, то почиталось возможным писать равенство А + α = А. В 1665 г. появилось сочинение известного англ. математика Валлиса „Arithmetica infinitorum“, в которой фигурирует уже и знак Б. ∞; в этом сочинении автор пытается установить те законы, которым следуют бесконечно малые и бесконечно большие величины в отличие от конечных величин.
Этот золотой век актуальной Б. приходит к концу около середины XVIII в. Дело в том, что смелые приемы инфинитистов, обогатив математику чрезвычайно замечательными открытиями, привели все же и к отрицательным результатам: применение их часто приводило к явным абсурдам, а тщательный анализ добытых этими средствами математических результатов обнаружил, что ошибочные выводы проникли гораздо глубже, чем этого можно было ожидать. Множество предложений, которые были раньше возвещены в чрезвычайно общем виде, оказались справедливыми лишь при значительных ограничениях; оказалось, так. обр., необходимым возвратиться обратно, тщательно пересмотреть весь материал, добытый средствами нового анализа, и точно отделить действительно правильные выводы от поспешных заключений. Для этого нужно было выработать строгие законы операций над бесконечно большими и бесконечно малыми, которые определенно указывали бы, какие приемы гарантируют нас от логических ошибок при исчислении бесконечных. Этот критический процесс обнаружил, что корень заблуждения заключается в признании актуальной Б. На место актуальной Б. должны быть введены процессы, виртуально продолжающиеся неограниченно в том смысле, в каком это было выяснено выше; понятие же об актуально бесконечном замещается понятием о пределе. Это действительно привело к очищению анализа от массы недостоверного и неправильного материала; а так как этот ошибочный материал был получен, как результат признания актуально-бесконечно малых, то на таковые возникло настоящее гонение. Лагранж, Коши, Абель, Гаусс — таковы имена представителей нового направления. В своей „Теории функций“ (1797) Лагранж старается обосновать дифференциальное исчисление, совершенно не прибегая к бесконечно малым. „Употребление бесконечной величины, как чего-то совершенного (als einer Vollendeten)“, — пишет Гаусс Шумахеру, — „в математике никогда не может быть допущено. Бесконечное — это только façon de parler; в действительности же мы имеем всегда дело с пределами, к которым могут приближаться известные отношения, между тем, как некоторым другим предоставлено неограниченно возрастать“. В первую половину XIX в. актуально-бесконечное было совершенно изгнано из математики, — в этом смысле написаны все руководства и основные сочинения этого времени.
При всем том во второй половине XIX в. актуальная Б. снова оживает и на сей раз появляется в сочинениях наиболее выдающихся математиков эпохи — Р. Дедекинда и Г. Кантора. Это находится в связи с господствующей с середины истекшего века тенденцией углубиться в самые начала арифметики и геометрии с целью научного выяснения основ математики. Относящиеся сюда исследования обнаружили, что идея о Б. — хотя бы той виртуальной Б., необходимость которой признана всеми, — коренится в математике гораздо глубже, чем это считали раньше. Если до того принимали, что понятие о Б. появляется в математике при переходе к рядам и к высшему анализу, то теперь выяснилось, что учение об иррациональном числе (следовательно, в основной части арифметики) уже коренным образом связано с понятием о Б., да и в элементарной математике иррациональное число определяется своими последовательными рациональными приближениями (виртуально бесконечный процесс). Вдумываясь в ту роль, какую понятие о Б. играет в математике, на различных ее ступенях, Дедекинд и Кантор пришли к заключению, что актуально-бесконечное несправедливо изгнано из математики; если это понятие и приводило к заблуждениям, то причина этого коренится в том, что оно не было правильно определено и потому давало повод ко всякого рода ошибочным суждениям. Средством для правильного определения бесконечного комплекса, по мнению Дедекинда и Кантора, должны служить следующие простые соображения.
Положим, что мы имеем два комплекса объектов. Установим между ними соответствие таким образом, что будем каждый элемент одного комплекса относить к некоторому элементу другого и притом различные элементы первого комплекса всякий раз к различным же элементам второго. Если, например, имеем комплекс чернильниц и комплекс учеников, то мы присвоим (отнесем) каждую чернильницу одному определенному ученику. Если процесс возможно выполнить так, чтобы каждый элемент первого комплекса отвечал некоторому элементу второго и чтобы при этом на каждый элемент второго действительно пришелся некоторый элемент первого комплекса, то говорят, что комплексы имеют одинаковую мощность (комплекс чернильниц имеет ту же мощность, что и комплекс учеников, если каждая чернильница досталась какому-нибудь ученику и каждый ученик получил чернильницу; не осталось ни свободных чернильниц, ни учеников, не имеющих чернильницы).
Комплекс называется бесконечным, если он имеет такую же мощность, как и некоторая его часть, если он в указанном выше смысле слова может быть сопряжен со своею частью. Так, например, совокупность чисел натурального ряда представляет собой бесконечный процесс вот почему: отнесем число 1 к числу 2, число 2 к числу 3 и т. д.; тогда ясно, что комплекс 1, 2, 3, 4… однозначно сопряжен со своею частью 2, 3, 4, 5… (он имеет ту же мощность, что и его часть 2, 3, 4, 5…). Конечный комплекс никогда не может быть, таким образом, сопряжен со своею частью. Как ни просты и тривиальны эти соображения, но они действительно содержат в себе определение бесконечного комплекса. Исходя из этого определения, Кантор сумел построить целое учение о бесконечных комплексах. Понятие о количестве является частным случаем понятия о мощности. Определенное количество имеет только конечный комплекс, определенную мощность имеет всякий комплекс; мощность конечного комплекса совпадает с его количеством. Из двух конечных комплексов один может иметь большее количество элементов, чем другой; из двух бесконечных комплексов один может иметь большую мощность, другой меньшую: это имеет место в том случае, если при всяком сопряжении элементов первого комплекса с элементами второго в первом остаются лишние элементы. Исходя из этого, Кантор строит скалу мощностей бесконечных комплексов подобно тому, как натуральный ряд чисел представляет скалу количеств; и подобно тому, как целые числа служат для выражения количеств (т.-е. мощностей) конечн. комплексов, Кантор вводит своеобразные трансфинитные числа для выражения мощностей бесконечных комплексов. Для этих „чисел“ Кантор и его последователи установили правила арифметических действий, и таким образом получается своеобразная „трансфинитная арифметика“, арифметика бесконечного и притом актуально-бесконечного.
Идеи Кантора получили широкое распространение и развитие; в некоторых своих частях они вошли даже в элементарные отделы теоретической арифметики. Однако, в начале текущего столетия один из горячих сторонников Канторова учения, Фреге, а за ним и другие математики указали, что рассуждения Кантора в некоторых случаях способны приводить к антиномиям — к логическим выводам, находящимся в противоречии с законом исключенного третьего. Вследствие этого в последн. годы некоторые математики, в том числе наиболее выдающийся из современных математиков — Пуанкаре (см. его книгу „Наука и метод“), вновь решительно возвысили голос против актуальной Б. Мнение это не всеми разделяется; напротив, есть даже смелые попытки подвергнуть скорее сомнению самый закон исключенного третьего. Во всяком случае все признают, что идеи Кантора принесли существенную пользу и в некоторых своих частях непременно должны утвердиться в математике. Но происходят ли антиномии от того, что актуальная Б. является понятием, логически совершенно недопустимым, или рассуждения Кантора допускают какой-либо тонкий корректив — это вопрос еще невыясненный, и спор между сторонниками актуальной и виртуальной Б. остается открытым.
В. Каган.