Кватернионы, комплексные числа вида d + ai + bj + ck, где d, a, b, с — вещественные числа, коэффициенты кватерниона, a 1, i, j, k четыре основных единицы, умножение которых подчиняется следующим законам:
Как вещественные, так и обыкновенные комплексные числа вида d + a√−1 или d + ai могут быть рассматриваемы, как частный случай К. — первые при a = b = с = 0, вторые при b = с = 0.
К. состоит из двух частей — скаларной части, или скалара d и векториальной части, или вектора ai + bj + ck (см. векториальный анализ). Изображая числа а, b, с как отрезки на трех взаимно перпендикулярных осях, или, что то же, как координаты некоторой точки относительно тех же осей, мы можем рассматривать векториальную часть ai + bj + ck, как символ или числовое изображение некоторого вектора, именно, того вектора, который соединяет начало координат с точкою (а, b, с), определяемою координатами а, b, с. Скаларная часть d представляет число, не имеющее прямого геометрического значения; некоторые предлагают смотреть на скалар d, как на некоторую числовую характеристику, связанную с вектором ai + bj + ck. Величина называется тенсором К. Два кватерниона равны между собою, когда их соответственные коэффициенты попарно равны, так что равенство d + ai + bj + ck = d1 + a1i + b1j + c1k равносильно совокупности, или системе четырех равенств d = d1, а = а1, b = b1, с = с1.
Правила сложения и вычитания К. такие же, как и для обыкновенных комплексных чисел, именно сложение и вычитание К. производится через сложение или вычитание их соответственных коэффициентов:
Умножение К. производится по общим правилам умножения обыкновенных чисел, но произведения единиц 1, i, j, k определяются приведенною выше таблицею. Отсюда можно видеть, что умножение К. подчиняется закону сочетательному, т. е. для всяких трех К., A, В, С имеем (А.В).C = А.(В.С), и распределительному, т. е. (А + В).С = (А.C) + (B.С) и С.(А + В) = (С.А) + (С.В); но умножение К. не подчиняется закону переместительному, т. е. для двух К., A, В, произведение А.В вообще не равно В.А.
Деление К. всегда возможно, если только делитель не равен нулю. Это следует из того, что каждому К. А, не равному нулю, соответствует один вполне определенный К. 1A или A−1, дающий в обоих произведениях с A единицу: 1A.A = A.1A = 1.
Значение К. в математике и ее приложениях к механике и теоретической физике основано не только на том, что К. имеют простой геометрический смысл, но и на том, что действия с К., в частности умножение на К., также представляют определенные геометрические действия. Вследствие этого К., имеют двоякое геометрическое значение — как величины и как операторы, так что посредством К. действия над геометрическими величинами могут быть выражены при помощи действий над символами числового характера — кватернионами.
Пусть мы имеем в пространстве вектор А. Если начальная точка вектора остается неподвижною, то мы можем изменять вектор, вращая его около начальной точки и изменяя его длину. Это изменение, или преобразование вектора можно представить как его умножение на некоторый К. Пусть мы имеем вектор А, которого длина, или тенсор, равна ρ, a направление определяется тремя его углами α, β, γ, с осями i, j, k (см. выше); по предыдущему, этот вектор представится в виде ρ(icosα + jcosβ + kcosγ). Повернем вектор A на угол ω около перпендикулярной к нему оси, образующей с осями i, j, k углы а, b, с, и вместе с тем изменим его длину из ρ в ρ1. Оказывается, что эти изменения можно представить как умножение вектора A на К. М = ρ1ρ[cosω + sinω(icosa + jcosb + kcosc)], так что новый вектор A1 изобразится произведением ρ1ρ[cosω + sinω(icosa + jcosb + kcosc)] × ρ(icosα + jcosβ + kcosγ). Здесь следует заметить, что, по примеру Гамильтона, при умножении К. множитель ставится обыкновенно на первое место. Легко убедиться, что К. — множитель М имеет тенсор ρ1ρ, который показывает, в каком отношении первоначальный вектор A удлинился, или вытянулся при переходе в новое положение А1 — отсюда и самое название тенсор. Самый К. М можно рассматривать как произведение его тенcopa ρ1ρ на К. cosω + sinω(icosa + jcosb + kcosc), обусловливающий вращение вектора A около оси (a, b, c) на угол ω, и называющийся версором. Так как каждый К. можно представить как произведение его тенсора на его версор, то геометрически умножение на К. представляет удлинение и поворот около оси К. (вектора icosа + jcosb + kcosс) на некоторый угол ω такого вектора, направление которого перпендикулярно к оси К. Значение векторов в геометрии, механике и теоретической физике основано гл. обр. на этом простом геометрическом истолковании умножения К. (ср. VIII, 159/160). В 1895 г. была основана международная ассоциация для содействия изучению К. и близких им математических систем. См. Ромер, „Основные начала метода К.“, 1867; Сомов, „Векториальный анализ“, 1907; Клиффорд, „Здравый смысл точных наук“, 1910; Чезаро, „Алгебраический анализ“, 1913; Laisout, „Introduction à la theorie des Q.“, 1881; Molenbrock, „Theorie der Q.“, 1891; Joly, „A manual of Q.“, 1905.