ЭСГ/Приближение

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к навигации Перейти к поиску

Приближение. Предположим, что вычисляя некоторое количество N, мы приходим к двум последовательностям s1, s2, …, sn, … и S1, S2, …, Sn, …, из которых первая — никогда не убывающая, а вторая — никогда не возрастающая, все S1 > s1, S2 > s2, …, и разности Sn − sn при неограниченном возрастании числа n стремятся к нулю. Тогда каждое из количеств sn есть приближенное значение количества N с недостатком, каждое из количеств Sn есть приближенное значение количества N с избытком, и погрешности П., т. е. разности Sn − N и N − sn, не более Sn − sn. Само количество N может быть определено или как предел обеих последовательностей, или же и из других соображений. Как элементарные примеры, укажем на приближенное извлечение корней, определение длины окружности через периметры вписанных и описанных многоугольников. При этом, напр., число √2 может быть определено или обеими последовательностями его приближенных значений или и независимо от них, геометрически (см. число). Несколько иначе можно определить П. следующим образом. Если мы имеем такую последовательность Σ1, Σ2, …, Σn, …, что |N − Σn| < Σn, то Σn есть приближенное значение количества N с погрешностью до Σn. Таково представление функций через ряд Тэлора и т. п. П. количества N называют также такое количество S, что частное не превосходит некоторой границы, т. е. погрешность представляет малую долю определяемого количества N; примером служит представление факториала 1.2…n через ряд Стирлинга. В естествознании всякий эмпирический закон есть П. к действительности, напр., закон Бойля-Мариотта для газов. Даже целые отдельные области науки могут быть П. к действительности; напр., теория упругости, как опирающаяся на предпосылки, удовлетворяющиеся в действительности только приблизительно; практически годный объем выводов определяется опытами. Наконец, всякое измерение дает только приближенное значение измеряемой величины. Разность между истинным и приближенным значениями величины называется абсолютною погрешностью. За меру точности измерения принимается относительная погрешность, т. е. отношение абсолютной погрешности к самому значению величины; так, ошибка в 1 см. на метр и километр приводит к точностям 0,01 и 0,00001.

А. Некрасов.