ЭСГ/Прогрессии

Прогрессии
Энциклопедический словарь Гранат

Словник: Поляновский мир — Пуазель. Источник: т. 33 (1916): Поляновский мир — Пуазель, стлб. 512—513 ( скан )

Прогрессии. 1) Арифметическою П. называется ряд чисел u₁, u₂, …, u_n, …, или членов П., в котором разность между последующим и предыдущим членом равна постоянному числу r. Если r > 0, то П. — возрастающая; при r < 0 П. — убывающая. Из предыдущего определения получаем для n-го члена П. выражение $u_{n}=u_{1}+(n-1)r$. Всегда имеем $u_{1}+u_{n}=u_{1+k}+u_{n-k}$. Сумма n членов П. равна $S_{n}={\frac {(u_{1}+u_{n})n}{2}}$. 2) Геометрическою П. называется ряд чисел u₁, u₂, …, u_n, …, или членов П., в котором частное от деления последующего члена на предыдущий равно постоянному числу q, которое называется знаменателем П. Если q > 1, то П. — возрастающая, если же q < 1, то П. — убывающая; при q > 0 П. — знакопостоянная, а при q < 0 П. — знакочередующаяся. Из предыдущего определения имеем для n-го члена П. выражение $u_{n}=u_{1}q^{n-1}$. Достаточно повысить порядок действий на одну ступень, т. е. заменить сложение умножением и т. д., чтобы от теорем арифм. П. перейти к соответствующим теоремам геом. П. Для суммы n членов геом. П. имеем $S_{n}={\frac {u_{n}q-u_{1}}{q-1}}$. Если q < 1, то предел u_n при n = ∞ есть нуль, и мы получаем сумму бесконечно убывающей П. $S={\frac {u_{1}}{1-q}}$. Так. обр. бесконечно убывающая П. представляет элементарный пример суммируемого ряда; сравнивая с нею другие ряды, можно получить различные признаки сходимости рядов.

А. Некрасов.‎