ЭСГ/Пропорции

Пропорции
Энциклопедический словарь Гранат

Словник: Поляновский мир — Пуазель. Источник: т. 33 (1916): Поляновский мир — Пуазель, стлб. 569—570 ( скан )

Пропорции. 1) Арифметическою П. называется равенство двух разностей чисел $a-c=d-b$; отсюда имеем основное равенство $a+b=c+d$. В П. можно переставлять члены a, b, c, d так, чтобы сохранилось основное равенство. Если мы имеем $a-x=x-b$, то $x={\frac {a+b}{2}}$ называется средним арифметическим числом a и b. Обобщая, называют средним арифметическим чисел a₁, a₂, …, a_n число $x={\frac {a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}}{n}}$. 2) Геометрическою П. называется равенство двух частных чисел ${\frac {a}{c}}={\frac {d}{b}}$. Из этого определения следует, что все свойства геом. П. можно вывести из свойств арифм. П., повышая порядок действий на одну ступень, т. е. заменяя сложение умножением и т. д. Так, мы получим $ab=dc$; среднее геометрическое $x={\sqrt {ab}}$. Непрерывною П. называется выражение

${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\dots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

‎Если f(x₁, x₂, …, x_n) есть однородное выражение m-ой степени аргументов x₁, x₂, …, x_n, то мы имеем

${\sqrt[{m}]{\frac {f(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,a_{n})}{f(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,b_{n})}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}=\dots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

‎Если под a, b, c, d, мы будем подразумевать не рациональные числа, а вообще какие-нибудь величины, как, напр., это имеет место в геометрии, то предыдущее определение геом. П. требует дополнительных пояснений. См. несоизмеримые величины. А. Некрасов.‎