ЭСГ/Сечение золотое

Сечение золотое
Энциклопедический словарь Гранат

Словник: Северо-Американские Соединенные Штаты — Тампа. Источник: т. 41 ч. VI (1928): Северо-Американские Соединенные Штаты — Тампа, стлб. 607—609 ( скан )

Сечение золотое, иначе золотое, или божественное деление, — известное из древности деление данного отрезка на две части так, чтобы бòльшая часть была средней пропорциональной между всей прямой и меньшей ее частью. В настоящее время такое С. отрезка наз. делением его в крайнем и среднем отношении. Открытие С. з. принадлежит знаменитому греческому математику V в. до н. э. Эвдоксу Книдскому, который создал и общую теорию геометрических отношений и пропорций. Указав способ геометрического построения для решения задачи, он вывел также некоторые свойства получающихся при этом делении отрезков, а именно: если назовем разделяемый отрезок l, большую часть его a и меньшую b, то $\left(a+{\frac {l}{2}}\right)^{2}=5.\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}$; $\left(b+{\frac {a}{2}}\right)^{2}=5.\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}$; $l^{2}+b^{2}=3a^{2}$; ${\frac {l+a}{l}}={\frac {l}{a}}$ и пр. В настоящее время задача обыкновенно решается алгебраически; называя большую часть отрезка l чрез x, имеем пропорцию: $l:x=x:(l-x)$, откуда $x^{2}=l(l-x)$ или $x^{2}+lx-l^{2}=0$ и $x=-{\frac {l}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {l^{2}}{4}}+l^{2}}}$. Отбрасывая отрицательный корень, имеем: $x=a={\sqrt {{\frac {l^{2}}{4}}+l^{2}}}-{\frac {l}{2}}$, что легко может быть построено при помощи циркуля и линейки. Алгебраически удобнее представить оба отрезка формулами: $a={\frac {l({\sqrt {5}}-1)}{2}}$ и $b={\frac {l(3-{\sqrt {5}})}{2}}$. Для приближенного построения можно довольно точно принять $a={\frac {5}{8}}l$. С любою степенью точности a может быть получено с помощью представления ${\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ в виде непрерывной дроби, при чем получается замечательное разложение: ${\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}}$

С. з. своим названием и славою обязано было убеждению древне-греческих ученых в том, что в нем заключается математический закон красоты. Так, они полагали, что из всех прямоугольников наиболее эстетическое впечатление производит тот, у которого стороны представляют части отрезка, деленного по С. з., из эллипсов — тот, у которого полуоси удовлетворяют той же пропорции, и т. д. С. з. они склонны были видеть в пропорции тела красивейших людей, частей красивых зданий и т. д. Того же взгляда держались и средневековые математики, и такие художники, как Альбрехт Дюрер, Леонардо да Винчи и др.; под влиянием Леонардо да Винчи была написана по этому вопросу известным ученым Лукой Пачиоли в 1609 г. книга «Божественное деление», с чертежами, сделанными Леонардо да Винчи. В новейшее время эстетическому значению С. з. было посвящено сочинение «Эстетические изыскания» д-ра Цейзинга, 1855 г., частично переведенное на русск. язык под заглавием: «Золотое деление, как основной морфологический закон в природе и искусстве. (Открытие проф. Цейзинга)», с примеч. и объяснен. изложил Ю. Ф. В., М., 1876 г. В этой книге на ряде примеров из области архитектуры, музыки, ботаники и пр. доказывается, что С. з. — действительно основной закон красоты. Однако, проверка в новейшее время этого положения средствами экспериментальной психологии показала, что законы эстетики чрезвычайно сложны и во всяком случае не могут быть выражены такими простыни формулами, какова формула С. з.

И. Чистяков.‎