БСЭ1/Гипергеометрический ряд

Гипергеометрический ряд
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Гимназия — Горовицы. Источник: т. XVII (1930): Гимназия — Горовицы, стлб. 50—51 ( РГБ )

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД, бесконечный ряд вида:

$f(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)=1+{\frac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}\cdot x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\cdot \beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}\cdot x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}}\cdot x^{3}\ldots$, удовлетворяющий гауссову дифференциальному уравнению:

$(x-x^{2})y''+[\gamma -(1+\alpha +\beta )x]y'=\alpha \beta y$

Гипергеометрич. ряд включает в себя как частные случаи большое количество известных разложений функций в бесконечн. ряды. Например: при $\beta =\gamma$ или $\alpha =\beta =1$ и $\gamma =2$ получаются известн. разложения функций $(1-x)^{-\alpha }-{\frac {1}{x}}\log(1-x)$. Г. р. впервые был подробно изучен Гауссом (Gauss С. F., Allgemeine Untersuchungen über die unendliche Reihe $1+{\frac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}\cdot x\ldots$ ), который показал и важные применения этого ряда в интегрировании дифференциальных уравнений. Этот мемуар Гаусса сыграл важную роль в общей теории бесконечных рядов (см.).