Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/207

Эта страница была вычитана

какъ лемму при рѣшеніи задачи о вписанномъ въ кругъ треугольникѣ, стороны котораго проходятъ черезъ три данныя точки^[1]. Наконецъ извѣстный физикъ и геометръ Лесли также доказалъ и употреблялъ эту теорему въ третьей книгѣ своего Геометрическаго анализа^[2].

Изъ сказаннаго нами видно, что теорема эта, почти совсѣмъ неизвѣстная въ наше время, имѣетъ право занять мѣсто въ элементахъ, или по крайней мѣрѣ въ дополненіяхъ къ геометріи^[3].

↑ Mémoires de l'Académie de Pétersbourg, 1780.
↑ Geometrical analysis. Edinburgh, 1809; in—8°. Второе изданіе въ 1821 году.
↑ Когда точка $D$ взята на той же прямой, на которой лежатъ три остальныя точки, то теоремою Стеварта выражается общее соотношеніе между четырьмя произвольными точками прямой линіи. Мы нашли что это соотношеніе, также какъ и другія, относящіяся къ четыремъ точкамъ прямой, проистекаютъ изъ слѣдующаго общаго соотношенія между пятью точками прямой линіи:
$EA^{2}.BC.CD.DB+EB^{2}.CD.DA.AC-EC^{2}.DA.AB.BD-ED^{2}.AB.BC.CA=0$ .
Составленіе членовъ этого уравненія — очевидно. Чтобы опредѣлить знаки, раздѣлимъ всѣ члены на $AB.BG.CA$ уравненіе обратится въ
$EA^{2}.{\frac {DB.DC}{AB.AC}}+EB^{2}.{\frac {DA.DC}{BA.BC}}-EC^{2}.{\frac {DA.DB}{CA.CB}}=ED^{2}$ ;
въ этомъ уравненіи надобно брать съ $+$ произведенія отрѣзковъ, которые считаются въ одномъ направленіи отъ общей ихъ точки, и съ $-$ произведенія отрѣзковъ, считаемыхъ въ противоположныя стороны.
Вотъ нѣкоторыя соотношенія между четырьмя точками, выводимыя изъ этого общаго соотношенія.
1) Если предположимъ, что $E$ находится въ безконечности, то, раздѣливъ на $ED^{2}$ , получимъ
$BC.CB.DB+CB.DA.AC-DA.AB.BD-AB.BC.CA=0$ .

Каждый членъ этого уравненія есть произведеніе отрѣзковъ, образуемыхъ тремя изъ четырехъ точекъ.

2) Если точки $E$ и $B$ сливаются, то выходитъ
$DA.BC+DB.AC-DC.AB=0$ ;

это — простѣйшее соотношеніе между четырьмя точками $A,B,C,D$ прямой линіи.

3) Наконецъ, если $B$ будетъ въ безконечности, то общее уравненіе обращается въ уравненіе Стеварта, именно:
$EA^{2}.BC+EB^{2}.AC-EC^{2}.AB=AB.AC.BC$ .

Тот же текст в современной орфографии

как лемму при решении задачи о вписанном в круг треугольнике, стороны которого проходят через три данные точки^[1]. Наконец известный физик и геометр Лесли также доказал и употреблял эту теорему в третьей книге своего Геометрического анализа^[2].

Из сказанного нами видно, что теорема эта, почти совсем неизвестная в наше время, имеет право занять место в элементах, или по крайней мере в дополнениях к геометрии^[3].

↑ Mémoires de l'Académie de Pétersbourg, 1780.
↑ Geometrical analysis. Edinburgh, 1809; in—8°. Второе издание в 1821 году.
↑ Когда точка $D$ взята на той же прямой, на которой лежат три остальные точки, то теоремою Стюарта выражается общее соотношение между четырьмя произвольными точками прямой линии. Мы нашли что это соотношение, также как и другия, относящиеся к четырем точкам прямой, проистекают из следующего общего соотношения между пятью точками прямой линии:
$EA^{2}.BC.CD.DB+EB^{2}.CD.DA.AC-EC^{2}.DA.AB.BD-ED^{2}.AB.BC.CA=0$ .
Составление членов этого уравнения — очевидно. Чтобы определить знаки, разделим все члены на $AB.BG.CA$ уравнение обратится в
$EA^{2}.{\frac {DB.DC}{AB.AC}}+EB^{2}.{\frac {DA.DC}{BA.BC}}-EC^{2}.{\frac {DA.DB}{CA.CB}}=ED^{2}$ ;
в этом уравнении надобно брать с $+$ произведения отрезков, которые считаются в одном направлении от общей их точки, и с $-$ произведения отрезков, считаемых в противоположные стороны.
Вот некоторые соотношения между четырьмя точками, выводимые из этого общего соотношения.
1) Если предположим, что $E$ находится в бесконечности, то, разделив на $ED^{2}$ , получим
$BC.CB.DB+CB.DA.AC-DA.AB.BD-AB.BC.CA=0$ .

Каждый член этого уравнения есть произведение отрезков, образуемых тремя из четырех точек.

2) Если точки $E$ и $B$ сливаются, то выходит
$DA.BC+DB.AC-DC.AB=0$ ;

это — простейшее соотношение между четырьмя точками $A,B,C,D$ прямой линии.

3) Наконец, если $B$ будет в бесконечности, то общее уравнение обращается в уравнение Стюарта, именно:
$EA^{2}.BC+EB^{2}.AC-EC^{2}.AB=AB.AC.BC$ .

[1] Mémoires de l'Académie de Pétersbourg, 1780.

[2] Geometrical analysis. Edinburgh, 1809; in—8°. Второе изданіе въ 1821 году.

[3] Когда точка $D$ взята на той же прямой, на которой лежатъ три остальныя точки, то теоремою Стеварта выражается общее соотношеніе между четырьмя произвольными точками прямой линіи. Мы нашли что это соотношеніе, также какъ и другія, относящіяся къ четыремъ точкамъ прямой, проистекаютъ изъ слѣдующаго общаго соотношенія между пятью точками прямой линіи:
$EA^{2}.BC.CD.DB+EB^{2}.CD.DA.AC-EC^{2}.DA.AB.BD-ED^{2}.AB.BC.CA=0$ .
Составленіе членовъ этого уравненія — очевидно. Чтобы опредѣлить знаки, раздѣлимъ всѣ члены на $AB.BG.CA$ уравненіе обратится въ
$EA^{2}.{\frac {DB.DC}{AB.AC}}+EB^{2}.{\frac {DA.DC}{BA.BC}}-EC^{2}.{\frac {DA.DB}{CA.CB}}=ED^{2}$ ;
въ этомъ уравненіи надобно брать съ $+$ произведенія отрѣзковъ, которые считаются въ одномъ направленіи отъ общей ихъ точки, и съ $-$ произведенія отрѣзковъ, считаемыхъ въ противоположныя стороны.
Вотъ нѣкоторыя соотношенія между четырьмя точками, выводимыя изъ этого общаго соотношенія.
1) Если предположимъ, что $E$ находится въ безконечности, то, раздѣливъ на $ED^{2}$ , получимъ
$BC.CB.DB+CB.DA.AC-DA.AB.BD-AB.BC.CA=0$ .

Каждый членъ этого уравненія есть произведеніе отрѣзковъ, образуемыхъ тремя изъ четырехъ точекъ.

2) Если точки $E$ и $B$ сливаются, то выходитъ
$DA.BC+DB.AC-DC.AB=0$ ;

это — простѣйшее соотношеніе между четырьмя точками $A,B,C,D$ прямой линіи.

3) Наконецъ, если $B$ будетъ въ безконечности, то общее уравненіе обращается въ уравненіе Стеварта, именно:
$EA^{2}.BC+EB^{2}.AC-EC^{2}.AB=AB.AC.BC$ .

[4] Mémoires de l'Académie de Pétersbourg, 1780.

[5] Geometrical analysis. Edinburgh, 1809; in—8°. Второе издание в 1821 году.

[6] Когда точка $D$ взята на той же прямой, на которой лежат три остальные точки, то теоремою Стюарта выражается общее соотношение между четырьмя произвольными точками прямой линии. Мы нашли что это соотношение, также как и другия, относящиеся к четырем точкам прямой, проистекают из следующего общего соотношения между пятью точками прямой линии:
$EA^{2}.BC.CD.DB+EB^{2}.CD.DA.AC-EC^{2}.DA.AB.BD-ED^{2}.AB.BC.CA=0$ .
Составление членов этого уравнения — очевидно. Чтобы определить знаки, разделим все члены на $AB.BG.CA$ уравнение обратится в
$EA^{2}.{\frac {DB.DC}{AB.AC}}+EB^{2}.{\frac {DA.DC}{BA.BC}}-EC^{2}.{\frac {DA.DB}{CA.CB}}=ED^{2}$ ;
в этом уравнении надобно брать с $+$ произведения отрезков, которые считаются в одном направлении от общей их точки, и с $-$ произведения отрезков, считаемых в противоположные стороны.
Вот некоторые соотношения между четырьмя точками, выводимые из этого общего соотношения.
1) Если предположим, что $E$ находится в бесконечности, то, разделив на $ED^{2}$ , получим
$BC.CB.DB+CB.DA.AC-DA.AB.BD-AB.BC.CA=0$ .

Каждый член этого уравнения есть произведение отрезков, образуемых тремя из четырех точек.

2) Если точки $E$ и $B$ сливаются, то выходит
$DA.BC+DB.AC-DC.AB=0$ ;

это — простейшее соотношение между четырьмя точками $A,B,C,D$ прямой линии.

3) Наконец, если $B$ будет в бесконечности, то общее уравнение обращается в уравнение Стюарта, именно:
$EA^{2}.BC+EB^{2}.AC-EC^{2}.AB=AB.AC.BC$ .

[1]

[2]

[3]

[1]

[2]

[3]