Изъ нея прежде всего заключаемъ, что кривая четвертаго порядка, происходящая отъ перспективы пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка, допускаетъ не болѣе восьми касательныхъ, проходящихъ черезъ одну произвольно взятую точку плоскости, тогда какъ въ общей кривой четвертаго порядка черезъ одну точку могутъ проходить двѣнадцать касательныхъ.
Изъ нея же слѣдуетъ, что развертывающаяся поверхность, описанная около двухъ поверхностей втораго порядка, будетъ не выше восьмаго порядка. Порядокъ такой поверхности въ точности еще не указанъ; Понселе замѣтилъ только что онъ не превосходитъ числа двѣнадцать[1].
Приложенія теоремы, о которой мы говоримъ, могутъ быть очень многочислены, потому что часто встрѣчаются такія кривыя линіи, которыя могутъ происходить отъ перспективы или проэкціи пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка[2].
- ↑ Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, n° 103. Crelle's Journal, t. IV.
- ↑ Такъ напримѣръ, овалы Декарта, или апланетическія линіи, суть стереографическія проэкціи линіи пересѣченія сферы съ конусомъ вращенія (теорема Кетле, см. Прим. XXI). Отсюда заключаемъ, что эти знаменитые овалы всегда имѣютъ двѣ сопряженныя мнимыя точки въ безконечности. Можетъ быть другимъ путемъ этого и нельзя бы было обнаружить, потому что до сихъ поръ при изысканіи особыхъ точекъ не обращалось вниманія на мнимыя рѣшенія, также какъ и на точки безконечно удаленныя, которыя часто ускользаютъ отъ анализа. Тѣ и другія однако принадлежатъ къ особенностямъ кривыхъ линій и должны играть важную роль въ ихъ теоріи.
Точно также лемнискаты, образуемыя основаніями перпендикуляровъ, опускаемыхъ изъ неподвижной точки на касательныя коническаго сѣченія, суть стереографическія проэкціи пересѣченія сферы съ конусомъ втораго порядка (теорема Данделена, см. Nouveau mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. 4); изъ этого слѣдуетъ, что эти кривыя имѣютъ двѣ сопряженныя мнимыя точки въ безконечности. Извѣстно, что онѣ кромѣ того имѣютъ всегда третью, всегда дѣйствительную двойную, или сопряженную точку, именно — точку, изъ которой опускаются перпендикуляры на касательныя, и что кривыя эти допускаютъ не болѣе шести касательныхъ изъ одной точки. Къ этому заключенію я былъ приведенъ также и другими соображеніями, не выходящими изъ области плоской геометріи.
Многія другія кривыя четвертаго порядка имѣютъ также сопряженныя мнимыя точки въ безконечности; таковы спирическія линіи, т.-е. плоскія сѣченія кольцеобразной поверхности, кассиноида и другія.
Из неё прежде всего заключаем, что кривая четвертого порядка, происходящая от перспективы пересечения двух поверхностей второго порядка, допускает не более восьми касательных, проходящих через одну произвольно взятую точку плоскости, тогда как в общей кривой четвертого порядка через одну точку могут проходить двенадцать касательных.
Из неё же следует, что развертывающаяся поверхность, описанная около двух поверхностей второго порядка, будет не выше восьмого порядка. Порядок такой поверхности в точности еще не указан; Понселе заметил только что он не превосходит числа двенадцать[1].
Приложения теоремы, о которой мы говорим, могут быть очень многочисленны, потому что часто встречаются такие кривые линии, которые могут происходить от перспективы или проекции пересечения двух поверхностей второго порядка[2].
- ↑ Mémoire sur la théorie générale des polaires réciproques, n° 103. Crelle's Journal, t. IV.
- ↑ Так например, овалы Декарта, или апланетические линии, суть стереографические проекции линии пересечения сферы с конусом вращения (теорема Кетле, см. Прим. XXI). Отсюда заключаем, что эти знаменитые овалы всегда имеют две сопряженные мнимые точки в бесконечности. Может быть другим путем этого и нельзя бы было обнаружить, потому что до сих пор при изыскании особых точек не обращалось внимания на мнимые решения, также как и на точки бесконечно удаленные, которые часто ускользают от анализа. Те и другие однако принадлежат к особенностям кривых линий и должны играть важную роль в их теории.
Точно также лемнискаты, образуемые основаниями перпендикуляров, опускаемых из неподвижной точки на касательные конического сечения, суть стереографические проекции пересечения сферы с конусом второго порядка (теорема Данделена, см. Nouveau mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. 4); из этого следует, что эти кривые имеют две сопряженные мнимые точки в бесконечности. Известно, что они кроме того имеют всегда третью, всегда действительную двойную, или сопряженную точку, именно — точку, из которой опускаются перпендикуляры на касательные, и что кривые эти допускают не более шести касательных из одной точки. К этому заключению я был приведен также и другими соображениями, не выходящими из области плоской геометрии.
Многие другие кривые четвертого порядка имеют также сопряженные мнимые точки в бесконечности; таковы спирические линии, т. е. плоские сечения кольцеобразной поверхности, кассиноида и другия.
