О способѣ построенія фокусовъ и доказательства ихъ свойствъ на косомъ конусѣ
Примѣчаніе къ n° 12
[20]Аполлоній называетъ фокусы коническаго сѣченія точками приложенія
(Puncta ex applicatione facta)
и опредѣляетъ ихъ слѣдующимъ образомъ: каждая изъ этихъ точекъ дѣлитъ большую ось эллипса, или дѣйствительную ось гиперболы, на два отрѣзка, произведеніе которыхъ равно квадрату другой сопряженной полуоси; или, по выраженію Аполлонія, равна четвертой части фигуры. Словомъ фигура онъ означаетъ прямоугольникъ, построенный изъ большой оси и изъ latus rectum.
[21]Построеніе это, какъ мы видимъ, имѣетъ только весьма отдаленное соотношеніе съ самымъ конусомъ; и я не знаю, было ли до сихъ поръ предложено общее и прямое построеніе фокусовъ на конусѣ въ родѣ того какое далъ Яковъ Бернулли для latus rectum, за исключеніемъ впрочемъ частнаго случая, когда конусъ прямой, какъ мы увидимъ изъ этого Примѣчанія.
Мы пришли къ слѣдующему построенію въ случаѣ косаго конуса:
Если предположимъ, что сѣкущая плоскость, какъ въ коническихъ сѣченіяхъ Аполлонія, перпендикулярна къ плоскости осеваго треугольника, и проведемъ черезь одну изъ вершинъ кривой двѣ плоскости, одну параллельную, другую антипараллельную съ основаніемъ конуса, то эти двѣ плоскости пересѣкутъ конусъ по двумъ кругамъ; черезъ центры этихъ двухъ круговъ проведемъ въ плоскости осеваго треугольника кругъ, который касался бы діаметра кривой: точка прикосновенія будетъ одинъ изъ фокусовъ кривой.
Это построеніе не распространяется на тотъ случай, когда діаметръ кривой проходитъ между центрами двухъ круговъ, потомучто тогда онъ не будетъ большою осью (кривая при этомъ есть необходимо эллипсъ), которая въ этомъ случаѣ перпендикулярна къ плоскости осеваго треугольника. Построеніе фокусовъ для этого случая будетъ другое, но оно еще проще, чѣмъ для общаго случая. На прямой, соединяющей центры круговъ, должно описать, какъ на діаметрѣ, кругъ, въ плоскости перпендикулярной къ плоскости осеваго треугольника: точки, въ которыхъ этотъ кругъ пересѣчется съ большою осью кривой, будутъ искомые фокусы ея.
Оба эти построенія ведутъ къ одинаковому общему выраженію эксцентрицитета коническихъ сѣченій, разсматриваемыхъ на конусѣ. Именно: эксцентрицитетъ есть средняя пропорціональная между разстояніями центра кривой отъ центровъ двухъ круговыхъ сѣченій, проведенныхъ чрезъ одну изъ веришнъ, лежащихъ въ плоскости осеваго треугольника.
Когда конусъ прямой, то выраженіе эксцентрицитета будетъ необыкновенно просто: изъ центра кривой сѣченія проведемъ до оси конуса наклонную линію параллельную одной изъ образующихъ
[22]конуса, находящихся въ плоскости осеваго треугольника; эта наклонная будетъ равна экцентрицитету кривой сѣченія.
Построеніе фокусовъ на косомъ конусѣ показываетъ, что фокальныя линіи Кетле и Фанъ-Риса (van Rees) (кривыя третьей степени, представляющія геометрическое мѣсто фокусовъ коническихъ сѣченій, образуемыхъ различными плоcкостями, проводимыми чрезъ касательныя къ конусу перпендикулярно къ одной изъ главныхъ плоскостей его), разсматриваемыя въ плоскости, представляютъ геометрическое мѣсто точекъ привосновенія касательныхъ, проводимыхъ изъ неподвижной точки къ различнымъ кругамъ, имѣющимъ двѣ общія точки, или, общѣе, имѣющимъ попарно одну и ту же радикальную ось (axe de symptose). Это предложеніе высказано было нами безъ доказательства еще прежде.[1]
Но вмѣстѣ съ тѣмъ мы видимъ, что эти фокальныя линіи не всегда представляютъ вполнѣ геометрическое мѣсто фокусовъ коническихъ сѣченій; когда, напримѣръ, кривыя образуются плоскостями перпендикулярными къ плоскости осеваго треугольника, то кромѣ кривыхъ третьей степени получается еще кругъ, лежащій въ другой плоскости и дополняющій собою геометрическое мѣсто.
Это замѣчаніе ускользнуло отъ анализа, употребленнаго Фанъ Рисомъ въ его интересномъ мемуарѣ о фокальныхъ линіяхъ[2].
Предложенное нами построеніе фокусовъ коническихъ сѣченій на косомъ конусѣ не ведетъ къ доказательству свойствъ этихъ точекъ и не можетъ a priori обнаружить ихъ существованіе въ коническихъ сѣченіяхъ. Остается разсмотрѣть, какимъ образомъ можно придти къ открытію свойствъ фокусовъ, изслѣдуя кривыя втораго порядка на самомъ конусѣ.
Многіе геометры уже занимались этимъ вопросомъ.
Гамильтонъ, авторъ очень хорошаго сочиненія о коническихъ сѣченіяхъ[3], пытался вывести свойства директрисы на самомъ конусѣ. Но онъ разсматривалъ только прямой конусъ и предполагалъ извѣстными a priori фокусы каждаго сѣченія (p. 100, 122)
[23]Въ послѣднее время Кетле и Данделенъ, изслѣдуя коническія сѣченія на тѣлѣ, получили прекрасные новые результаты; изъ нихъ слѣдующій представляетъ, кажется, еще первое построеніе фокусовъ коническаго сѣченія на самомъ конусѣ:
Прямой конусъ пересѣченъ плоскостію; представимъ себѣ, что въ него вписаны два шара, касающіеся плоскости: точки прикосновенія и будутъ фокусы сѣченія конуса плоскостью; прямыя же по которымъ пересѣчется эта плоскость съ двумя плоскостями круговъ прикосновенія шаровъ и конуса, будутъ соотвѣтствующія этимъ фокусомъ директрисы.
Данделенъ распространилъ эту теорему на коническія сѣченія, разсматриваемыя, вмѣсто конуса, на гиперболоидѣ вращенія[4]. Мы обобщили ее еще болѣе, выведя, какъ слѣдствіе, изъ общаго свойства поверхностей втораго порядка.[5]
Другое слѣдствіе этого общаго свойства выражаетъ собою свойство фокусовъ, разсматриваемыхъ на косомъ конусѣ, именно:
Пусть косой конусъ пересѣченъ какою-нибудь плоскостью; впишемъ въ конусъ поверхность втораго порядка, касательную къ плоскости, такъ, чтобы точка прикосновенія была концомъ одного изъ двухъ діаметровъ, представляющихъ мѣсто центровъ круговыхъ сѣченій этой поверхности; тогда точка прикосновенія будетъ фокусомъ сѣченія конуса плоскостью.
Это весьма общая теорема; но понятно, что она не можетъ вести насъ къ опредѣленію фокусовъ коническаго сѣченія и не можетъ служить для изслѣдованія свойствъ этихъ точекъ. Теорема Кетле и Данделена, напротивъ того, особенно удобна для этой цѣли; но она относится только къ сѣченіямъ на прямомъ конусѣ.
Такимъ образомъ вопросъ о способѣ получать и изслѣдовать фокусы, пользуясь для этого свойствами косаго конуса, остается еще не рѣшеннымъ.
Мы предложили бы для этого два пріема.
Вопервыхъ: брать сѣкущую плоскость (предполагая ее перпендикулярною къ осевому треугольнику, какъ въ коническихъ сѣченіяхъ
[24]Аполлонія) такъ, чтобы ось конуса дѣлала съ нею такой же уголъ, какъ и съ плоскостію основанія конуса. Тогда точка встрѣчи оси съ сѣкущею плоскостію будетъ фокусомъ сѣченія. Этотъ фокусъ будетъ соотвѣтствовать центру круга, служащаго конусу основаніемъ, т. е. будетъ его перспективой; слѣдовательно здѣсь свойства центра приведутъ къ характеристическимъ свойствамъ фокуса.
Вовторыхъ: изучать сперва свойства конуса независимо отъ кривыхъ, получаемыхъ отъ пересѣченія его плоскостями. Таковы прежде всего свойства двухъ плоскостей, проведенныхъ черезъ вершину конуса, изъ которыхъ одна параллельна плоскости круглаго основанія, а другая плоскости обратнаго сѣченія. Потомъ различныя свойства, въ которыхъ подобную же роль играютъ двѣ прямыя линіи, извѣстнымъ образомъ проводимыя черезъ вершину конуса и представляющія большую аналогію съ фокусами коническихъ сѣченій.
Если конусъ пересѣчемъ плоскостью, перпендикулярною къ одной изъ этихъ прямыхъ, то полученчое коническое сѣченіе будетъ имѣть фокусъ въ точкѣ пересѣченія плоскости съ этою прямою; нѣкоторыя свойства этой прямой будутъ примѣняться къ фокусу, разсматриваемому по отношенію къ коническому сѣченію.
Въ этомъ заключается второй способъ изучать свойства фокусовъ на самомъ конусѣ.
Что касается до свойствъ конуса относительно двухъ плоскостей и двухъ прямыхъ, о которыхъ мы говорили, то они легко получаются при помощи самыхъ простыхъ геометрическихъ соображеній. Этимъ путемъ мы получили нѣсколько подобныхъ свойствъ, которыя помѣщены въ шестомъ томѣ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles.
Примѣчанія.
- ↑ Correspondance mathèm. par Quetelet, t. VI, p. 207.
- ↑ Correspondance math. t. V, p. 361.
- ↑ De sectionibus conicis tractatus geometricus, in quo ex natura ipsius coni, sectionum affectioncs facitlime deducuntur, methodo nova; Dublin 1758; in — 4.
- ↑ Mémoire sur l'hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon. Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III.
- ↑ Annales des mathématiques, t. XIX, p. 167.
|
Индекс в Викитеке