Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/137

Возьмемъ четыреугольникъ 1-ый и какой нибудь четыреугольникъ $m$-ый данной сѣти и въ нихъ отмѣтимъ соотвѣтственныя точки $u_{1}$ и $u_{m}$. Пусть четыреугольникъ $m$-ый получается изъ четыреугольника 1-го линейнымъ преобразованіемъ $\Sigma$:

$u_{m}=\Sigma (u_{1}).$

(6)

‎Будемъ точку $u_{m}$ перемѣщать такъ, чтобы она вышла изъ четыреугольника $m$-го, вступила въ смежный съ нимъ четыреугольникъ $m+1$-ый и пришла въ совпаденіе съ точкой $u_{m+1}$ этого послѣдняго четыреугольника, при чемъ подъ $u_{m+1}$ мы подразумѣваемъ точку четыреугольника $m+1$-го, эквивалентную $u_{1}$ относительно подстановокъ группы. Въ то же время точка $u_{1}$ будетъ, необходимо, также перемѣщаться, выйдетъ изъ четыреугольника 1-го и вступитъ въ одинъ изъ смежныхъ съ нимъ четыреугольниковъ. Для опредѣленности положимъ, что она вступила въ четыреугольникъ 2-ой.

Въ тотъ моментъ, когда точка $u_{m}$ пришла въ $u_{m+1}$, точка $u_{1}$ достигнетъ $u_{2}$.

Ясно, что точки $u_{m+1}$ и $u_{2}$ связаны между собою подстановкою $\Sigma$:

$u_{m+1}=\Sigma (u_{2}).$

(7)

‎Подставивъ въ это равенство вмѣсто $u_{2}$ ея выраженіе:

$u_{2}=S(u_{1}),$

(1)

‎находимъ:

$u_{m+1}=\Sigma S(u_{1}).$

(8)

‎Это значитъ, что четыреугольникъ $m+1$-ый, смежный съ четыреугольникомъ $m$-мъ, получается изъ четыреугольника 1-го подстановкой:

$\Sigma S.$

(9)

‎На основаніи тѣхъ же разсужденій мы въ правѣ сказать, что остальные три четыреугольника, смежные съ $m$-мъ, получаются изъ четыреугольника 1-го подстановками:

Тот же текст в современной орфографии

Возьмем четырехугольник 1-ый и какой-нибудь четырехугольник $m$-ый данной сети и в них отметим соответственные точки $u_{1}$ и $u_{m}$. Пусть четырехугольник $m$-ый получается из четырехугольника 1-го линейным преобразованием $\Sigma$:

$u_{m}=\Sigma (u_{1}).$

(6)

‎Будем точку $u_{m}$ перемещать так, чтобы она вышла из четырехугольника $m$-го, вступила в смежный с ним четырехугольник $m+1$-ый и пришла в совпадение с точкой $u_{m+1}$ этого последнего четырехугольника, причем под $u_{m+1}$ мы подразумеваем точку четырехугольника $m+1$-го, эквивалентную $u_{1}$ относительно подстановок группы. В то же время точка $u_{1}$ будет, необходимо, также перемещаться, выйдет из четырехугольника 1-го и вступит в один из смежных с ним четырехугольников. Для определенности положим, что она вступила в четырехугольник 2-ой.

В тот момент, когда точка $u_{m}$ пришла в $u_{m+1}$, точка $u_{1}$ достигнет $u_{2}$.

Ясно, что точки $u_{m+1}$ и $u_{2}$ связаны между собой подстановкой $\Sigma$:

$u_{m+1}=\Sigma (u_{2}).$

(7)

‎Подставив в это равенство вместо $u_{2}$ ее выражение:

$u_{2}=S(u_{1}),$

(1)

‎находим:

$u_{m+1}=\Sigma S(u_{1}).$

(8)

‎Это значит, что четырехугольник $m+1$-ый, смежный с четырехугольником $m$-м, получается из четырехугольника 1-го подстановкой:

$\Sigma S.$

(9)

‎На основании тех же рассуждений мы вправе сказать, что остальные три четырехугольника, смежные с $m$-м, получаются из четырехугольника 1-го подстановками: