Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/138

$\Sigma {\mathfrak {T}},\ \Sigma S^{-1},\ \Sigma {\mathfrak {T}}^{-1}.$

(10)

‎Итакъ, если четыреугольникъ $m$-ый получается изъ начальнаго четыреугольника 1-го подстановкой $\Sigma$, то четыреугольники, смежные съ $m$-мъ, получаются изъ 1-го подстановками:

$\Sigma S,\ \Sigma S^{-1},\ \Sigma {\mathfrak {T}},\ \Sigma {\mathfrak {T}}^{-1}.$

(11)

‎Пользуясь этимъ результатомъ, мы можемъ найти подстановку, преобразующую четыреугольникъ 1-ый въ любой четыреугольникъ сѣти. Въ самомъ дѣлѣ, въ теоремѣ 2 мы видѣли, что четыреугольники, смежные съ 1-мъ, получаются изъ него подстановками:

$S,\ {\mathfrak {T}},\ S^{-1},\ {\mathfrak {T}}^{-1}.$

(5)

‎Отсюда слѣдуетъ, что четыреугольники, смежные съ только что перечисленными, получаются изъ четыреугольника 1-го подстановками:

$\left.{\begin{array}{l}S^{2},\ S{\mathfrak {T}},\ S{\mathfrak {T}}^{-1},\\{\mathfrak {T}}S,\ {\mathfrak {T}}^{2},\ {\mathfrak {T}}S^{-1},\\S^{-1}{\mathfrak {T}},\ S^{-2},\ S^{-1}{\mathfrak {T}}^{-1},\\{\mathfrak {T}}^{-1}S,\ {\mathfrak {T}}^{-1}S^{-1},\ {\mathfrak {T}}^{-2}.\end{array}}\right\}.$

(12)

‎Имѣя подстановки (5) и (12), мы найдемъ подстановки, соотвѣтствующія слѣдующимъ четыреугольникамъ, смежнымъ съ разсмотрѣнными, и т. д. Такъ, мы найдемъ подстановки, соотвѣтствующія всѣмъ четыреугольникамъ сѣти. Всѣ эти подстановки будутъ представляться формулами вида:

$S^{\alpha }\ {\mathfrak {T}}^{\beta }\ S^{\gamma }\ {\mathfrak {T}}^{\delta }\ \ldots \ S^{\varkappa }\ {\mathfrak {T}}^{\lambda },$

(13)

‎гдѣ $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta ,\ \ldots ,\ \varkappa ,\ \lambda$ суть числа цѣлыя положительныя или отрицательныя. Нѣкоторыя изъ нихъ могутъ равняться нулю.

Итакъ, мы доказали, что всякая подстановка группы можетъ быть составлена изъ подстановокъ $S$ и ${\mathfrak {T}}$. Остается доказать, что эти подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ независимы между собою.

Тот же текст в современной орфографии

$\Sigma {\mathfrak {T}},\ \Sigma S^{-1},\ \Sigma {\mathfrak {T}}^{-1}.$

(10)

‎Итак, если четырехугольник $m$-ый получается из начального четырехугольника 1-го подстановкой $\Sigma$, то четырехугольники, смежные с $m$-м, получаются из 1-го подстановками:

$\Sigma S,\ \Sigma S^{-1},\ \Sigma {\mathfrak {T}},\ \Sigma {\mathfrak {T}}^{-1}.$

(11)

‎Пользуясь этим результатом, мы можем найти подстановку, преобразующую четырехугольник 1-ый в любой четырехугольник сети. В самом деле, в теореме 2 мы видели, что четырехугольники, смежные с 1-м, получаются из него подстановками:

$S,\ {\mathfrak {T}},\ S^{-1},\ {\mathfrak {T}}^{-1}.$

(5)

‎Отсюда следует, что четырехугольники, смежные с только что перечисленными, получаются из четырехугольника 1-го подстановками:

$\left.{\begin{array}{l}S^{2},\ S{\mathfrak {T}},\ S{\mathfrak {T}}^{-1},\\{\mathfrak {T}}S,\ {\mathfrak {T}}^{2},\ {\mathfrak {T}}S^{-1},\\S^{-1}{\mathfrak {T}},\ S^{-2},\ S^{-1}{\mathfrak {T}}^{-1},\\{\mathfrak {T}}^{-1}S,\ {\mathfrak {T}}^{-1}S^{-1},\ {\mathfrak {T}}^{-2}.\end{array}}\right\}.$

(12)

‎Имея подстановки (5) и (12), мы найдем подстановки, соответствующие следующим четырехугольникам, смежным с рассмотренными, и т. д. Так, мы найдем подстановки, соответствующие всем четырехугольникам сети. Все эти подстановки будут представляться формулами вида:

$S^{\alpha }\ {\mathfrak {T}}^{\beta }\ S^{\gamma }\ {\mathfrak {T}}^{\delta }\ \ldots \ S^{\varkappa }\ {\mathfrak {T}}^{\lambda },$

(13)

‎где $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta ,\ \ldots ,\ \varkappa ,\ \lambda$ суть числа целые положительные или отрицательные. Некоторые из них могут равняться нулю.

Итак, мы доказали, что всякая подстановка группы может быть составлена из подстановок $S$ и ${\mathfrak {T}}$. Остается доказать, что эти подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ независимы между собой.