Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/139

Допустимъ, что подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ не независимы. Въ такомъ случаѣ одна изъ нихъ должна быть степенью другой. Пусть:

${\mathfrak {T}}=S^{\alpha }.$

(14)

‎Подстановка $S$, какъ мы видѣли, преобразуетъ сторону $da$ четыреугольника 1 въ сопряженную съ нею сторону $dc$; при этомъ точка $d$ преобразуется сама въ себя.

Слѣдовательно, точка $d$ есть одна изъ двухъ точекъ, не мѣняемыхъ подстановкою $S$. Если точка $d$ не мѣняется подстановкою $S$, то она не можетъ мѣняться и подстановкой:

${\mathfrak {T}}=S^{\alpha }.$

(14)

‎Между тѣмъ мы знаемъ, что подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразуетъ четыреугольникъ 1 въ четыреугольникъ 4, не прилегающій ни къ сторонѣ $ad$, ни къ сторонѣ $dc$. Слѣдовательно, точка $d$ подстановкою ${\mathfrak {T}}$ непремѣнно мѣняется.

Такое противорѣчіе произошло отъ сдѣланнаго нами допущенія, что подстановки ${\mathfrak {T}}$ и $S$ не независимы между собою.

Итакъ, дѣйствительно, подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ суть основныя подстановки группы.

Если бы, какъ мы допустили выше, подстановка ${\mathfrak {T}}$ была зависима отъ $S$, то группа была бы циклическая:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ S^{3}\ldots$

(15)

‎Основною областью такой группы не служитъ четыреугольникъ. О циклической группѣ конечнаго порядка мы будемъ говорить въ § 19 и увидимъ, что основною областью ея служитъ двуугольникъ, образованный дугами круговъ^[1].

Посмотримъ теперь, какъ по данной сѣти четыреугольниковъ построить соотвѣтствующую ей группу линейныхъ подстановокъ.

1. Подробности о циклическихъ группахъ можно найти у Клейна: Vorlesungen über die Theorie der elliptichen Modulfunction. Стр. 186.

Тот же текст в современной орфографии

Допустим, что подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ не независимы. В таком случае одна из них должна быть степенью другой. Пусть:

${\mathfrak {T}}=S^{\alpha }.$

(14)

‎Подстановка $S$, как мы видели, преобразует сторону $da$ четырехугольника 1 в сопряженную с ней сторону $dc$; при этом точка $d$ преобразуется сама в себя.

Следовательно, точка $d$ есть одна из двух точек, не изменяемых подстановкой $S$. Если точка $d$ не меняется подстановкой $S$, то она не может меняться и подстановкой:

${\mathfrak {T}}=S^{\alpha }.$

(14)

‎Между тем мы знаем, что подстановка ${\mathfrak {T}}$ преобразует четырехугольник 1 в четырехугольник 4, не прилегающий ни к стороне $ad$, ни к стороне $dc$. Следовательно, точка $d$ подстановкой ${\mathfrak {T}}$ непременно меняется.

Такое противоречие произошло от сделанного нами допущения, что подстановки ${\mathfrak {T}}$ и $S$ не независимы между собой.

Итак, действительно, подстановки $S$ и ${\mathfrak {T}}$ суть основные подстановки группы.

Если бы, как мы допустили выше, подстановка ${\mathfrak {T}}$ была зависима от $S$, то группа была бы циклическая:

$S^{0}=1,\ S,\ S^{2},\ S^{3},\ \ldots$

(15)

‎Основной областью такой группы не служит четырехугольник. О циклической группе конечного порядка мы будем говорить в § 19 и увидим, что основной областью ее служит двуугольник, образованный дугами кругов^[1].

Посмотрим теперь, как по данной сети четырехугольников построить соответствующую ей группу линейных подстановок.

1. Подробности о циклических группах можно найти у Клейна: Vorlesungen über die Theorie der elliptichen Modulfunction. Стр. 186.