Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/48

Итакъ, мы убѣдились въ томъ, что первичная форма $f(\eta ',\ \eta '')$ только тогда можетъ имѣть индексъ 2, когда она второй степени.

Теорема доказана.

Теорема 16. Гессіанъ первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ есть тоже первичная форма за исключеніемъ случая, когда форма $f(\eta ',\ \eta '')$ второй степени.

Составимъ гессіанъ (опредѣлитель Гессе) формы $f(\eta ',\ \eta '')$. Пусть это будетъ $H(\eta ',\ \eta '')$. На основаніи теоремы 13 форма $H(\eta ',\ \eta '')$, какъ коваріантъ первичной формы, будетъ равна радикалу изъ раціональной функціи $z$, а потому, на основаніи теоремы 12, функція эта есть или первичная форма, или произведеніе нѣсколькихъ первичныхъ формъ.

Такъ какъ степень формы $f(\eta ',\ \eta '')$ равна $\nu$, то степень $H(\eta ',\ \eta '')$ равна $2\nu -4$.

Форма $H(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ дѣлиться нацѣло на $f(\eta ',\ \eta '')$, потому что въ такомъ случаѣ дополнительный множитель былъ бы степени $\nu -4$ и не могъ бы быть ни первичною формой, ни, подавно, произведеніемъ первичныхъ формъ. (Первичная форма наинисшей степени есть форма степени $\nu$). Изъ того же разсужденія слѣдуетъ, что форма $H(\eta ',\ \eta '')$ подавно не можетъ дѣлиться нацѣло на какую-либо первичную форму степени, выше $\nu$. Итакъ форма $H(\eta ',\ \eta '')$ есть форма первичная.

Однако надо замѣтить, что наши разсужденія потеряютъ силу, когда

$\nu =1,\ 2,\ 3,\ 4.$

‎Разберемъ эти случаи въ отдѣльности.

1) Если $\nu =1$, то гессіана не существуетъ вовсе. Въ этомъ случаѣ формой $f(\eta ',\ \eta '')$ будетъ линейная форма:

$c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''.$

‎Этотъ частный интегралъ равенъ радикалу изъ раціональной функціи—иными словами онъ есть корень двучленнаго уравненія. Случай, когда уравненіе (1), а слѣдовательно и

Тот же текст в современной орфографии

Итак, мы убедились в том, что первичная форма $f(\eta ',\ \eta '')$ только тогда может иметь индекс 2, когда она второй степени.

Теорема доказана.

Теорема 16. Гессиан первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ есть тоже первичная форма за исключением случая, когда форма $f(\eta ',\ \eta '')$ второй степени.

Составим гессиан (определитель Гессе) формы $f(\eta ',\ \eta '')$. Пусть это будет $H(\eta ',\ \eta '')$. На основании теоремы 13 форма $H(\eta ',\ \eta '')$, как ковариант первичной формы, будет равна радикалу из рациональной функции $z$, а потому, на основании теоремы 12, функция эта есть или первичная форма, или произведение нескольких первичных форм.

Так как степень формы $f(\eta ',\ \eta '')$ равна $\nu$, то степень $H(\eta ',\ \eta '')$ равна $2\nu -4$.

Форма $H(\eta ',\ \eta '')$ не может делиться нацело на $f(\eta ',\ \eta '')$, потому что в таком случае дополнительный множитель был бы степени $\nu -4$ и не мог бы быть ни первичной формой, ни, подавно, произведением первичных форм. (Первичная форма наинисшей степени есть форма степени $\nu$). Из того же рассуждения следует, что форма $H(\eta ',\ \eta '')$ подавно не может делиться нацело на какую-либо первичную форму степени, выше $\nu$. Итак форма $H(\eta ',\ \eta '')$ есть форма первичная.

Однако надо заметить, что наши рассуждения потеряют силу, когда

$\nu =1,\ 2,\ 3,\ 4.$

‎Разберем эти случаи в отдельности.

1) Если $\nu =1$, то гессиана не существует вовсе. В этом случае формой $f(\eta ',\ \eta '')$ будет линейная форма:

$c_{1}\eta '+c_{2}\eta ''.$

‎Этот частный интеграл равен радикалу из рациональной функции — иными словами он есть корень двучленного уравнения. Случай, когда уравнение (1), а следовательно и