Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/49

(20) двучленное, былъ нами устраненъ; поэтому въ изучаемыхъ нами случаяхъ $\nu$ не можетъ равняться 1.

2) Если $\nu =2$, то гессіанъ есть постоянное число (инваріантъ). Этотъ случай, дѣйствительно, особый и совершенно элементарнаго характера. Его мы разберемъ отдѣльно въ концѣ настоящей главы; теперь же мы его временно устраняемъ изъ разсмотрѣнія такъ же, какъ устранили уравненіе двучленное.

3) Если $\nu =3$, то степень гессіана равна 2. Это, очевидно, невозможно: форма второй степени $H(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ раздѣлиться нацѣло ни на кубичную форму $f(\eta ',\ \eta '')$, ни, подавно, на форму степени выше, нежели 3; а сама она не можетъ быть первичною формой, потому что въ разсматриваемомъ случаѣ первичная форма наинисшей степени есть форма кубичная.

Это противорѣчіе показываетъ, что случая $\nu =3$ совсѣмъ встрѣтиться не можетъ.

4) Если $\nu =4$, то степень гессіана тоже равна 4. Возникаетъ сомнѣніе, не разнится ли гессіанъ отъ формы $f(\eta ',\ \eta '')$ лишь постояннымъ множителемъ. Изъ теоріи алгебраическихъ формъ^[1] извѣстно, что такой случай можетъ наступить только тогда, когда форма $f(\eta ',\ \eta '')$ имѣетъ равные корни. Такъ какъ линейные множители первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ суть корни приведенной системы, то въ числѣ ихъ равныхъ или отличающихся между собою только постояннымъ множителемъ оказаться не можетъ.

Итакъ, за исключеніемъ случая $\nu =2$ гессіанъ $H(\eta ',\ \eta '')$ формы $f(\eta ',\ \eta '')$ есть первичная форма, отличная отъ $f(\eta ',\ \eta '')$.

Теорема доказана.

Условимся обозначать степень гессіана буквою $\nu _{1}$, индексъ его буквою $\mu _{1}$; тогда

$\nu _{1}=2\nu -4,\ \mu _{1}\nu _{1}=n.$

(76)

1. См. Clebsch. Theorie der binären algebraischen Formen стр. 163 или: Gordan. Vorlesungen über Invariantentheorie, томъ 2, стр. 197.

Тот же текст в современной орфографии

(20) двучленное, был нами устранен; поэтому в изучаемых нами случаях $\nu$ не может равняться 1.

2) Если $\nu =2$, то гессиан есть постоянное число (инвариант). Этот случай, действительно, особый и совершенно элементарного характера. Его мы разберем отдельно в конце настоящей главы; теперь же мы его временно устраняем из рассмотрения так же, как устранили уравнение двучленное.

3) Если $\nu =3$, то степень гессиана равна 2. Это, очевидно, невозможно: форма второй степени $H(\eta ',\ \eta '')$ не может разделиться нацело ни на кубическую форму $f(\eta ',\ \eta '')$, ни, подавно, на форму степени выше, нежели 3; а сама она не может быть первичною формой, потому что в рассматриваемом случае первичная форма наинисшей степени есть форма кубическая.

Это противоречие показывает, что случая $\nu =3$ совсем встретиться не может.

4) Если $\nu =4$, то степень гессиана тоже равна 4. Возникает сомнение, не разнится ли гессиан от формы $f(\eta ',\ \eta '')$ лишь постоянным множителем. Из теории алгебраических форм^[1] известно, что такой случай может наступить только тогда, когда форма $f(\eta ',\ \eta '')$ имеет равные корни. Так как линейные множители первичной формы $f(\eta ',\ \eta '')$ суть корни приведенной системы, то в числе их равных или отличающихся между собой только постоянным множителем оказаться не может.

Итак, за исключением случая $\nu =2$ гессиан $H(\eta ',\ \eta '')$ формы $f(\eta ',\ \eta '')$ есть первичная форма, отличная от $f(\eta ',\ \eta '')$.

Теорема доказана.

Условимся обозначать степень гессиана буквой $\nu _{1}$, индекс его буквой $\mu _{1}$; тогда

$\nu _{1}=2\nu -4,\ \mu _{1}\nu _{1}=n.$

(76)

1. См. Clebsch. Theorie der binären algebraischen Formen стр. 163 или: Gordan. Vorlesungen über Invariantentheorie, том 2, стр. 197.