Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/5

$x=2sin{\frac {1}{3}}{\bigg [}arc.\,sin\,a{\bigg ]}$

‎такъ же точно выражаетъ собою всѣ три корня кубичнаго уравненія

$x^{3}-3x+2a=0,$

‎какъ и формула Кардана.

То же самое относится и къ предложенному Эрмитомъ рѣшенію уравненія 5-ой степени. Разсматривая Эрмитово рѣшеніе уравненія 5-ой степени и два только что приведенныхъ примѣра трансцендентнаго рѣшенія алгебраическихъ уравненій, мы замѣчаемъ, что всѣ эти формулы имѣютъ одинаковый характеръ^[1]: алгебраическая функція изображается въ видѣ комбинаціи двухъ трансцендентныхъ:

${\mathit {\Phi }}[f(z)].$

‎При этомъ внутренняя функція $f$ есть многозначная и всѣ значенія ея связаны между собою линейно. Такъ, въ первомъ примѣрѣ значенія ея таковы:

$arc\,cos\,z,\ arc\,cos\,z+2\pi ,\ arc\,cos\,z+4\pi ,\ \ldots$

‎Внѣшняя функція ${\mathit {\Phi }}$ есть однозначная функція. Она не мѣняется при нѣкоторыхъ изъ тѣхъ линейныхъ преобразованій, которыя связываютъ между собою значенія функціи $f$. Такъ, въ 1-мъ примѣрѣ имѣютъ мѣсто равенства:

$cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z+4\pi ]=cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z],$ $cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z+6\pi ]=cos{\frac {1}{2}}[arc\,cos\,z+2\pi ],$

‎и т. д.

1. Такой же характеръ имѣетъ рѣшеніе двучленнаго уравненія $y^{n}=z$

   ‎при помощи логариѳмовъ и показательныхъ функцій:

   $y=e^{{\frac {1}{n}}log\,z}.$

Тот же текст в современной орфографии

$x=2\sin {\frac {1}{3}}{\bigg [}\arcsin a{\bigg ]}$

‎так же точно выражает собой все три корня кубичного уравнения

$x^{3}-3x+2a=0,$

‎как и формула Кардано.

То же самое относится и к предложенному Эрмитом решению уравнения 5-ой степени. Рассматривая Эрмитово решение уравнения 5-ой степени и два только что приведенных примера трансцендентного решения алгебраических уравнений, мы замечаем, что все эти формулы имеют одинаковый характер^[1]: алгебраическая функция изображается в виде комбинации двух трансцендентных:

${\mathit {\Phi }}[f(z)].$

‎При этом внутренняя функция $f$ есть многозначная и все значения её связаны между собой линейно. Так, в первом примере значения её таковы:

$\arccos z,\ \arccos z+2\pi ,\ \arccos z+4\pi ,\ \ldots$

‎Внешняя функция ${\mathit {\Phi }}$ есть однозначная функция. Она не меняется при некоторых из тех линейных преобразований, которые связывают между собой значения функции $f$. Так, в 1-м примере имеют место равенства:

$\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z+4\pi ]=\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z],$ $\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z+6\pi ]=\cos {\frac {1}{2}}[\arccos z+2\pi ],$

‎и т. д.

1. Такой же характер имеет решение двучленного уравнения $y^{n}=z$

   ‎при помощи логарифмов и показательных функций:

   $y=e^{{\frac {1}{n}}\ln z}.$