Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Пользуясь теоремою Ліувилля:
y
2
d
y
1
d
z
−
y
1
d
y
2
d
z
=
C
e
−
∫
p
1
d
z
,
{\displaystyle y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},}
приводимъ уравненіе (99 ) къ такому виду:
C
e
−
∫
p
1
d
z
y
2
2
=
d
u
d
z
,
{\displaystyle {\frac {Ce^{-\int p_{1}\,dz}}{y_{2}^{2}}}={\frac {du}{dz}},}
откуда:
y
2
=
C
d
u
d
z
e
−
1
2
∫
p
1
d
z
.
{\displaystyle y_{2}={\frac {\sqrt {C}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.}
(100)
Изъ равенствъ (98' ) и (100 ) находимъ:
y
1
=
u
C
d
u
d
z
e
−
1
2
∫
p
1
d
z
.
{\displaystyle y_{1}={\frac {u{\sqrt {C}}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.}
(101)
Для нахожденія производной
d
u
d
z
{\displaystyle {\frac {du}{dz}}}
дифференцируемъ уравненіе (95 ):
H
λ
1
−
1
(
u
)
f
λ
+
1
(
u
)
{
λ
1
f
(
u
)
d
H
(
u
)
d
u
−
λ
H
(
u
)
d
f
(
u
)
d
u
}
d
u
d
z
=
d
R
(
z
)
d
z
.
{\displaystyle {\frac {H^{\lambda _{1}-1}(u)}{f^{\lambda +1}(u)}}\left\{\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}\right\}{\frac {du}{dz}}={\frac {dR(z)}{dz}}.}
(102)
Полагая:
λ
1
f
(
u
)
d
H
(
u
)
d
u
−
λ
H
(
u
)
d
f
(
u
)
d
u
=
N
T
(
u
)
,
{\displaystyle \lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}=NT(u),}
[1]
(103)
находимъ:
↑ Бинарная форма
T
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle T(\eta ',\ \eta '')}
, соотвѣтствующая многочлену
T
(
u
)
{\displaystyle T(u)}
, есть функціональный опредѣлитель формъ
f
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle f(\eta ',\ \eta '')}
и
H
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle H(\eta ',\ \eta '')}
. Отсюда слѣдуетъ, что форма
T
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle T(\eta ',\ \eta '')}
есть коваріантъ первичной формы
f
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle f(\eta ',\ \eta '')}
и потому равна радикалу изъ раціональной функціи перемѣннаго
z
{\displaystyle z}
. Впослѣдствіи мы часто будемъ пользоваться многочленомъ
T
(
u
)
{\displaystyle T(u)}
.
Тот же текст в современной орфографии
Пользуясь теоремой Лиувилля:
y
2
d
y
1
d
z
−
y
1
d
y
2
d
z
=
C
e
−
∫
p
1
d
z
,
{\displaystyle y_{2}{\frac {dy_{1}}{dz}}-y_{1}{\frac {dy_{2}}{dz}}=Ce^{-\int p_{1}\,dz},}
приводим уравнение (99 ) к такому виду:
C
e
−
∫
p
1
d
z
y
2
2
=
d
u
d
z
,
{\displaystyle {\frac {Ce^{-\int p_{1}\,dz}}{y_{2}^{2}}}={\frac {du}{dz}},}
откуда:
y
2
=
C
d
u
d
z
e
−
1
2
∫
p
1
d
z
.
{\displaystyle y_{2}={\frac {\sqrt {C}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.}
(100)
Из равенств (98' ) и (100 ) находим:
y
1
=
u
C
d
u
d
z
e
−
1
2
∫
p
1
d
z
.
{\displaystyle y_{1}={\frac {u{\sqrt {C}}}{\sqrt {\dfrac {du}{dz}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.}
(101)
Для нахождения производной
d
u
d
z
{\displaystyle {\frac {du}{dz}}}
дифференцируем уравнение (95 ):
H
λ
1
−
1
(
u
)
f
λ
+
1
(
u
)
{
λ
1
f
(
u
)
d
H
(
u
)
d
u
−
λ
H
(
u
)
d
f
(
u
)
d
u
}
d
u
d
z
=
d
R
(
z
)
d
z
.
{\displaystyle {\frac {H^{\lambda _{1}-1}(u)}{f^{\lambda +1}(u)}}\left\{\lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}\right\}{\frac {du}{dz}}={\frac {dR(z)}{dz}}.}
(102)
Полагая:
λ
1
f
(
u
)
d
H
(
u
)
d
u
−
λ
H
(
u
)
d
f
(
u
)
d
u
=
N
T
(
u
)
,
{\displaystyle \lambda _{1}f(u){\frac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\frac {df(u)}{du}}=NT(u),}
[1]
(103)
находим:
↑ Бинарная форма
T
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle T(\eta ',\ \eta '')}
, соответствующая многочлену
T
(
u
)
{\displaystyle T(u)}
, есть функциональный определитель форм
f
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle f(\eta ',\ \eta '')}
и
H
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle H(\eta ',\ \eta '')}
. Отсюда следует, что форма
T
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle T(\eta ',\ \eta '')}
есть ковариант первичной формы
f
(
η
′
,
η
″
)
{\displaystyle f(\eta ',\ \eta '')}
и потому равна радикалу из рациональной функции переменной
z
{\displaystyle z}
. Впоследствии мы часто будем пользоваться многочленом
T
(
u
)
{\displaystyle T(u)}
.