Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/65

Глава II.

Свойства алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

‎Въ [[../../Глава I/ДО|главѣ I]] мы разсмотрѣли главнѣйшія свойства уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка, и видѣли, что рѣшеніе этихъ уравненій можетъ быть приведено къ рѣшенію уравненій иного класса: уравненій имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Теперь мѣ займемся изученіемъ свойствъ уравненій этого новаго класса и убѣдимся въ томъ, что всѣ они разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

§ 5. Основныя свойства.

Согласно съ результатами, найденными въ [[../../Глава I/ДО|главѣ I]], мы можемъ утверждать, что неприводимое алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяютъ частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0,$

(1)

‎должно имѣть такой видъ:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(2)

‎Степени многочленовъ $f(u)$ и $H(u)$ по прежнему мы будемъ обозначать буквами $\nu$ и $\nu _{1}$. Въ такомъ случаѣ:

Тот же текст в современной орфографии

Глава II.

Свойства алгебраических уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

‎В главе I мы рассмотрели главнейшие свойства уравнений, имеющих корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, и видели, что решение этих уравнений может быть приведено к решению уравнений иного класса: уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Теперь ме займемся изучением свойств уравнений этого нового класса и убедимся в том, что все они разрешимы в гипергеометрических функциях.

§ 5. Основные свойства.

Согласно результатам, найденными в главе I, мы можем утверждать, что неприводимое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют частные интегралы линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:

${\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+p_{1}{\frac {dy}{dz}}+p_{2}y=0,$

(1)

‎должно иметь такой вид:

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=R(z).$

(2)

‎Степени многочленов $f(u)$ и $H(u)$ по-прежнему мы будем обозначать буквами $\nu$ и $\nu _{1}$. В таком случае: