89 § 24 который по существу дЪла приходится выполнять лишь надъ приближен- приближенными значешями, мы можемъ достичь какой угодно степени точности. Съ другой стороны, изъ нашей георемы вытекаетъ теоретически важное слт,дств1е: равенство или неравенство, которое справедливо для всЪхъ* рашональныхъ значешй входящихъ въ него буквь, оста- остается въ силт. и для иррациональных ь значетй ихъ. Действительно, любое равенство, связывающее рацюнальныя числа, можетъ быть представлено въ форме fa, b, с, ...¦) = О, A9) гдъ знакъ / обозначает ь некоторое сочеташе основныхъ четырех ь дъй- сшй. Если это равенство справедливо при всъхъ зиачешяхь рацюналь- ныхь чиселъ а, Ь, С, ¦¦¦ то оно остается въ силе и для иррацюнальныхъ значенШ a, ft, у, ... , т. е. имеетъ место равенство /(а, ?5, у, ...j = 0. B0) Действительно, если бы результатъ / (а, ft, у, ...) былъ отличенъ оть нуля, напр., если бы у (а, ft, у, ..._)>() то можно было бы указать два такихъ положительныхъ числа g и g', чтобы
- '</(«• P. Y.-) -AT: B1)
согласно теореме о непрерывности, этимъ же неравенстнамъ должны удо- удовлетворять и некоторыя приближенныя рашональныя значен1я </, /?, г, ... чиселъ зс, [i, у, ... , т. е. число j(а, Ь, С, ...) оказалось бы положитель- нымъ, что противоречило бы услов1ю A9). Изложенное предложете имеетъ место и для неравенствъ, только въ этомъ случае для доказательства приходится пользоваться той форму- формулировкой основной теоремы, которая дана въ пункте 6. Предположимъ, напримЪръ, что.все рацюнальныя числа el, b, с, ¦¦¦ ¦ удовлетворяющ5я услов1ю if (а, Ь, С, ...)>0, выполняютъ и неравенство /(а, Ь, с,...)>0; утверждаемъ, что это соотношеше имеетъ мЬсто и для иррацюнальныхъ чиселъ, т. е., если ц (ос, ft, у, ...)> 0, то и /(a, ft, у, ...)^>0. В ь самомъ деле, если бы неравенство ц (a, ft, у, ...)]>0 было совместимо съ неравенствомъ у (а, [4, у, ...) <С 0, го можно было бы выбрать пару огрицательныхъ чиселъ g и о-' и пару положительныхъ чиселъ к и // такъ, чтобы g < /(a, ft, у, .. .)< а', (- < ф (а, J1. у, ...) / А-'. Тогда мы могли бы подобрать для чиселъ a, ft, у, ... так1я прибли- приближенныя значешя а, Ь, С, ... , чтобы число Ц(а, Ь, с, ...)>0, а число / {п, Ь, с, ...) было меньше нуля, что противоречило бы заданному усло- BiK). Точно также число j (зс, ft, у, ...) не можетъ быть равно нулю; для доказательства обратимся къ той формулировке основной георемы, кото-
