Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/29

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана


такъ какъ всѣ элементы послѣдняго комплекса въ этомъ случаѣ принадлежатъ комплексу N_a (п. 10).

Мы будемъ называть комплексъ N_a совокупность натуральныхъ чиселъ, которыя больше числа a. Если b есть число комплекса N_a, то мы будемъ говорить, что число „b больше числа a“ и будемъ выражать это въ знакахъ такъ:

b > a.

Въ этой терминологiи предложенiя п. п. 9, 10 и 11 могутъ быть выражены такъ:

9*. Число a не больше числа a.

10*. Если число b больше числа a, а число c больше числа b, то число c больше числа a.

11*. Если число b больше числа a, то число a не больше числа b.

12. Каждое натуральное число n, за исключенiемъ 1, можетъ быть получено изъ нѣкотораго опредѣленнаго натуральнаго числа m прибавленiемъ къ нему единицы, т. е. существуетъ опредѣленное такое число m, что n=m+1. Это число m мы будемъ обозначать символомъ n-1.

Чтобы доказать высказанное утвержденiе, обозначимъ черезъ N' комплексъ, содержащiй всѣ числа вида m+1, гдѣ m есть натуральное число. Въ составъ этого комплекса входитъ число 2, т. е. (1+1); кромѣ того, если число a входитъ въ составъ этого комплекса, то въ немъ содержится и число a+1. Слѣдовательно, комплексъ N' удовлетворяетъ требованiямъ α') и β') п. 6 при a=1, и потому представляетъ собой комплексъ Z_1; такимъ образомъ комплексъ N_1, входитъ въ составъ комплекса N'. Но съ другой стороны, каждое число комплекса N' входитъ въ составъ комплекса N_1, ибо послѣднiй содержитъ всѣ натуральныя числа, кромѣ 1; вслѣдствiе этого комплексы N_1 и N' совпадаютъ.

Итакъ, каждое число комплекса N_1, можетъ быть представлено въ видѣ m+1. Что же касается того, что данному числу m+1 отвѣчаетъ только одно число m, то это вытекаетъ изъ предложенiя § 2, 7; въ самомъ дѣлѣ, согласно этому предложенiю, если A представляетъ собой комплексъ мощности a+1 и \alpha есть какой либо элементъ этого комплекса, то всѣ комплексы A-\alpha имѣютъ одинаковую мощность.



Тот же текст в современной орфографии


так как все элементы последнего комплекса в этом случае принадлежат комплексу N_a (п. 10).

Мы будем называть комплекс N_a совокупность натуральных чисел, которые больше числа a. Если b есть число комплекса N_a, то мы будем говорить, что число «b больше числа a» и будем выражать это в знаках так:

b > a.

В этой терминологии предложения п. п. 9, 10 и 11 могут быть выражены так:

9*. Число a не больше числа a.

10*. Если число b больше числа a, а число c больше числа b, то число c больше числа a.

11*. Если число b больше числа a, то число a не больше числа b.

12. Каждое натуральное число n, за исключением 1, может быть получено из некоторого определённого натурального числа m прибавлением к нему единицы, т. е. существует определённое такое число m, что n=m+1. Это число m мы будем обозначать символом n-1.

Чтобы доказать высказанное утверждение, обозначим через N' комплекс, содержащий все числа вида m+1, где m есть натуральное число. В состав этого комплекса входит число 2, т. е. (1+1); кроме того, если число a входит в состав этого комплекса, то в нём содержится и число a+1. Следовательно, комплекс N' удовлетворяет требованиям α') и β') п. 6 при a=1, и потому представляет собой комплекс Z_1; таким образом комплекс N_1, входит в состав комплекса N'. Но с другой стороны, каждое число комплекса N' входит в состав комплекса N_1, ибо последний содержит все натуральные числа, кроме 1; вследствие этого комплексы N_1 и N' совпадают.

Итак, каждое число комплекса N_1, может быть представлено в виде m+1. Что же касается того, что данному числу m+1 отвечает только одно число m, то это вытекает из предложения § 2, 7; в самом деле, согласно этому предложению, если A представляет собой комплекс мощности a+1 и \alpha есть какой-либо элемент этого комплекса, то все комплексы A-\alpha имеют одинаковую мощность.



§ 4. Теорема о совершенной индукцiи.

На этомъ точномъ опредѣленiи натуральнаго ряда чиселъ покоится предложенiе, представляющее собой одно изъ наиболѣе важныхъ и плодотворныхъ средствъ для познаванiя математическихъ истинъ; это есть



Тот же текст в современной орфографии


§ 4. Теорема о совершенной индукции.

На этом точном определении натурального ряда чисел покоится предложение, представляющее собой одно из наиболее важных и плодотворных средств для познавания математических истин; это есть