Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/41

Материал из Викитеки — свободной библиотеки
Перейти к: навигация, поиск
Эта страница была вычитана

§ 8. Умноженiе.

Часто приходится составлять суммы одинаковыхъ слагаемыхъ; для нихъ введено особое обозначенiе. Чтобы это объяснить, предположимъ, что намъ дано a слагаемыхъ, которыя всѣ равны b, и что нужно образовать сумму всѣхъ этихъ чиселъ, т. е. напримѣръ

b+b+b при a = 3
b+b+b+b при a = 4.
Сумму этихъ a чиселъ мы будемъ обозначать символомъ a . b, или a \times b, или, наконецъ, просто черезъ ab. Образованiе этой суммы называется умноженiемъ числа b на число a. Число b называется множимымъ, число a множителемъ, ab — результатъ умноженiя — произведенiемъ числа b на число a.

Согласно опредѣленiю, a . 1 = a; мы положимъ также [1] 1 . b = b, такъ какъ это въ предыдущемъ опредѣленiи не содержится. Умноженiе на большаго множителя можетъ быть приведено къ умноженiю на меньшихъ множителей посредствомъ рекуррентной формулы

(a+1)b = ab + b, (1)
которая, въ виду установленнаго выше соглашенiя, сохраняетъ свою силу также при a=1.

2. Первое основное предложенiе относительно умноженiя есть законъ перемѣстительный, заключающiйся въ томъ, что результатъ умноженiя не измѣнится, если мы множимое и множителя замѣнимъ другъ другомъ; этотъ законъ выражается соотношенiемъ

ab = ba. (2)

Доказательство этого предложенiя можетъ быть произведено при помощи совершенной индукцiи. Представимъ себѣ a конечныхъ комплексовъ B, которые мы для отличiя будемъ обозначать черезъ B_1, B_2, ... B_a; допустимъ, что эти комплексы не имѣютъ попарно общихъ элементовъ, но всѣ имѣютъ одну и ту-же мощность b. Въ такомъ случаѣ произведенiе ab представляетъ собой число комплекса M, который получимъ, если соединимъ всѣ наши комплексы B_1, B_2 ... B_a.

Теперь къ каждому изъ комплексовъ B_1, B_2 ... B_a мы присоединимъ еще по одному элементу, такъ что b перейдетъ въ b+1. Этимъ мы присоединяемъ къ M еще a новыхъ элементовъ. Если M[2] есть комплексъ, который мы такимъ образомъ получаемъ вместо M, то онъ выражается



Тот же текст в современной орфографии

§ 8. Умножение.

Часто приходится составлять суммы одинаковых слагаемых; для них введено особое обозначение. Чтобы это объяснить, предположим, что нам дано a слагаемых, которые все равны b, и что нужно образовать сумму всех этих чисел, т. е. например

b+b+b при a = 3
b+b+b+b при a = 4.
Сумму этих a чисел мы будем обозначать символом a . b, или a \times b, или, наконец, просто через ab. Образование этой суммы называется умножением числа b на число a. Число b называется множимым, число a множителем, ab — результат умножения — произведением числа b на число a.

Согласно определению, a . 1 = a; мы положим также [3] 1 . b = b, так как это в предыдущем определении не содержится. Умножение на большего множителя может быть приведено к умножению на меньших множителей посредством рекуррентной формулы

(a+1)b = ab + b, (1)
которая, ввиду установленного выше соглашения, сохраняет свою силу также при a=1.

2. Первое основное предложение относительно умножения есть закон переместительный, заключающийся в том, что результат умножения не изменится, если мы множимое и множителя заменим друг другом; этот закон выражается соотношением

ab = ba. (2)

Доказательство этого предложения может быть произведено при помощи совершенной индукции. Представим себе a конечных комплексов B, которые мы для отличия будем обозначать через B_1, B_2, ... B_a; допустим, что эти комплексы не имеют попарно общих элементов, но все имеют одну и ту же мощность b. В таком случае произведение ab представляет собой число комплекса M, который получим, если соединим все наши комплексы B_1, B_2 ... B_a.

Теперь к каждому из комплексов B_1, B_2 ... B_a мы присоединим ещё по одному элементу, так что b перейдёт в b+1. Этим мы присоединяем к M ещё a новых элементов. Если M[4] есть комплекс, который мы таким образом получаем вместо M, то он выражается

  1. т. е. введемъ въ качествѣ особаго соглашенiя
  2. Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например M_1. — Примечание редактора Викитеки.
  3. т. е. введем в качестве особого соглашения
  4. Опечатка. Новый комплекс должен иметь какое-то иное обозначение, например M_1. — Примечание редактора Викитеки.