Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/51

селъ $+a$ и $-a$. Чтобы обозначить число того или другого ряда, пользуются также знакомъ $\pm {a}$ (плюсъ минусъ $a$).

Знаки $+$ и $-$ въ символѣ $\pm {a}$ называются знаками числа $\pm {a}$.

Число нуль мы можемъ отнести къ тому или другому ряду: $+0$ и $-0$ тождественны. Два числа этихъ двухъ рядовъ, имѣющiе одну и ту же абсолютную величину, называются противоположными. Число $0$ противоположно себѣ самому. Число, противоположное противоположному числу, совпадаетъ съ первоначальнымъ числомъ. Если поэтому $\alpha$ есть отрицательное число, то подъ символомъ $-\alpha$ разумѣютъ положительное число той же абсолютной величины. Этотъ двойной рядъ, включая сюда $0$, мы будемъ называть рядомъ цѣлыхъ чиселъ. Числа этого ряда мы расположимъ по величинѣ при помощи слѣдующаго правила:

4. Всѣ положительныя числа больше нуля, всѣ отрицательныя числа меньше нуля. Если $a$ есть положительное число, то

$a>0$ и $-a<0$.

Положительныя числа мы будемъ располагать въ томъ же порядкѣ, какъ и прежде, а отрицательныя въ противоположномъ порядкѣ, такъ что изъ двухъ отрицательныхъ чиселъ меньшимъ считается то, которое имѣетъ большую абсолютную величину.

Благодаря такому соглашенiю, если $\alpha$, $\beta$, и $\gamma$ суть три произвольныхъ цѣлыхъ числа и $\alpha <\beta$, а $\beta <\gamma$, то $\alpha <\gamma$.

Это расположенiе чиселъ по величинѣ, называютъ „алгебраическимъ“; такимъ образомъ говорятъ, что одно число „алгебраически“ больше или меньше другого, если принимаются во вниманiе знаки чиселъ; если же говорятъ, что одно число „абсолютно больше другого“, то подъ этимъ разумѣется, что абсолютная величина перваго числа больше абсолютной величины второго. Если число $\alpha$ алгебраически меньше числа $\beta$, то пишемъ $\alpha <\beta$ или $\beta >\alpha$; если при этомъ не исключается возможность равенства, то пишемъ $\alpha \leqslant \beta$, или въ словахъ: „$\alpha$ равно $\beta$ или меньше, нежели $\beta$“ (иногда выражаютъ короче, хотя и не совсѣмъ правильно, такъ: „$\alpha$ равно или меньше $\beta$“); аналогично этому пишутъ также $\beta \geqslant \alpha$.

Чтобы сдѣлать эти опредѣленiя наглядными, представимъ себѣ рядъ точекъ, нанесенныхъ на прямой линiи (напр. жемчужины, нанизанныя на нити). Любую изъ этихъ точекъ помѣтимъ „$0$“, а затѣмъ считаемъ въ одномъ направленiи, скажемъ, слѣва направо точки $+1$, $+2$, $+3$ и т. д., а въ другомъ направленiи точки $-1$, $-2$, $-3$ .... (фиг. 1).

Фиг. 1.

При такихъ условiяхъ точкѣ, лежащей направо отъ другой точки,

Тот же текст в современной орфографии

сел $+a$ и $-a$. Чтобы обозначить число того или другого ряда, пользуются также знаком $\pm {a}$ (плюс минус $a$).

Знаки $+$ и $-$ в символе $\pm {a}$ называются знаками числа $\pm {a}$.

Число нуль мы можем отнести к тому или другому ряду: $+0$ и $-0$ тождественны. Два числа этих двух рядов, имеющие одну и ту же абсолютную величину, называются противоположными. Число $0$ противоположно себе самому. Число, противоположное противоположному числу, совпадает с первоначальным числом. Если поэтому $\alpha$ есть отрицательное число, то под символом $-\alpha$ разумеют положительное число той же абсолютной величины. Этот двойной ряд, включая сюда $0$, мы будем называть рядом целых чисел. Числа этого ряда мы расположим по величине при помощи следующего правила:

4. Все положительные числа больше нуля, все отрицательные числа меньше нуля. Если $a$ есть положительное число, то

$a>0$ и $-a<0$.

Положительные числа мы будем располагать в том же порядке, как и прежде, а отрицательные в противоположном порядке, так что из двух отрицательных чисел меньшим считается то, которое имеет большую абсолютную величину.

Благодаря такому соглашению, если $\alpha$, $\beta$, и $\gamma$ суть три произвольных целых числа и $\alpha <\beta$, а $\beta <\gamma$, то $\alpha <\gamma$.

Это расположение чисел по величине, называют «алгебраическим»; таким образом говорят, что одно число «алгебраически» больше или меньше другого, если принимаются во внимание знаки чисел; если же говорят, что одно число «абсолютно больше другого», то под этим разумеется, что абсолютная величина первого числа больше абсолютной величины второго. Если число $\alpha$ алгебраически меньше числа $\beta$, то пишем $\alpha <\beta$ или $\beta >\alpha$; если при этом не исключается возможность равенства, то пишем $\alpha \leqslant \beta$, или в словах: «$\alpha$ равно $\beta$ или меньше, нежели $\beta$» (иногда выражают короче, хотя и не совсем правильно, так: «$\alpha$ равно или меньше $\beta$»); аналогично этому пишут также $\beta \geqslant \alpha$.

Чтобы сделать эти определения наглядными, представим себе ряд точек, нанесённых на прямой линии (напр. жемчужины, нанизанные на нити). Любую из этих точек пометим «$0$», а затем считаем в одном направлении, скажем, слева направо точки $+1$, $+2$, $+3$ и т. д., а в другом направлении точки $-1$, $-2$, $-3$ .... (фиг. 1).

Фиг. 1.

При таких условиях точке, лежащей направо от другой точки,