устного счета
Я. И. ПЕРЕЛЬМАН
В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.
§ 1. Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 × 8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20 × 8 = 160), затем единицы (7 × 8 = 56) и оба результата складывают.
Еще примеры:
47 × 6 = 40 × 6 + 7 × 6 = 240 + 42 = 282
§ 2. Полезно знать на память таблицу умножения до 19 × 9:
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | 88 | 99 |
| 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 | 96 | 108 |
| 13 | 26 | 39 | 52 | 65 | 78 | 91 | 104 | 117 |
| 14 | 28 | 42 | 56 | 70 | 84 | 98 | 112 | 126 |
| 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 | 105 | 120 | 135 |
| 16 | 32 | 48 | 64 | 80 | 96 | 112 | 128 | 144 |
| 17 | 34 | 51 | 68 | 85 | 102 | 119 | 136 | 153 |
| 18 | 36 | 54 | 72 | 90 | 108 | 126 | 144 | 162 |
| 19 | 38 | 57 | 76 | 95 | 114 | 133 | 152 | 171 |
Зная эту таблицу, можно умножение например, 147 × 8 выполнить в уме так:
§ 3. Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например:
§ 4. Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.
Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:
§ 5. Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:
Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.
§ 6. Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2 × 7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:
§ 7. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:
§ 8. Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:
(Еще удобнее: 217 × 8 = 200 × 8 + 17 × 8 = 1600 × 13 = 1736).
§ 9. Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:
§ 10. Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:
§ 11. Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 102, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:
При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:
§ 12. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 1004, т. е. — если число кратно 4-х — делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:
Если же число при делении на 4 дает остаток, то
| при | приписывают |
| остатке: | к частному |
| 1 | 25 |
| 2 | 50 |
| 3 | 75 |
Основание приема ясно из того, что
§ 13. Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:
§ 14. Чтобы устно умножить число на 11/4, прибавляют к множимому его четверть. Например:
§ 15. Чтобы устно умножить число на 21/2, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например:
Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:
§ 16. Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делят пополам. Например:
§ 17. Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2 (потому что 10 × 11/2 = 15). Например:
§ 18. Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что 100 × 11/4 = 125). Например:
§ 19. Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100 × 3/4 = 75). Например:
Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6:
§ 20. Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:
§ 21. Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:
§ 22. Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру. Например:
§ 23. Чтобы устно разделить число на 11/2, делят удвоенное число на 3. Например:
§ 24. Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например:
§ 25. Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8 × 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:
Прием этот вытекает из формулы
§ 26. Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:
§27. Так как 0,5 = 1/2, а 0,25 = 1/4, то приемом §25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью 1/2:
§ 28. При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а ± b)2 = а2 + b2 ± 2аb. Например:
§ 29. Пусть требуется выполнить устно умножение
Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2) × (50 — 2) и применяем приведенную в заголовке формулу:
Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:
§ 30. Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:
| 37 × 3 = 111 |
Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.
| 7 × 11 × 13 = 1001 |
Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:
| 77 × 13 = 1001 | 91 × 11 = 1001 |
| 77 × 26 = 2002 | 91 × 22 = 2002 |
| 77 × 39 = 3003 | 91 × 33 = 3003 |
| и т. д. | и т. д. |
В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.
на однозначное число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§§ 1— 3 |
на двузначное число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§§ 4— 6 |
разности на сумму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§§ 29—30 |
на 3/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 16 |
11/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 14 |
11/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 13 |
21/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 15 |
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 7 |
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 11 |
8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 8 |
9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 20 |
11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 21 |
15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 17 |
25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 12 |
75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 19 |
125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 18 |
на 11/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 23 |
4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 9 |
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 22 |
8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 10 |
15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§ 24 |
Возвышение в квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
§§ 25—28 |