ВЫЧИСЛЕНИЯ, совокупность арифметических действий для определения численного значения какого-либо математического выражения. Потребности практики, гл. обр., коммерческой, вызвали к жизни появление целого ряда сокращенных приемов В., часто значительно упрощающих их производство; они выделились даже в особую дисциплину, называвшуюся коммерческой арифметикой (см.). Эти приемы, игравшие прежде очень большую роль, в последнее время в значительной мере потеряли свое значение, т. к. учреждения, производящие в больших размерах вычислительную работу (коммерческие, производственные, статистические и научные), все больше механизируют ее с помощью вычислительных машин (см.). Большое значение, однако, сохранили еще многообразные таблицы, содержащие произведения целых чисел (см. Математические таблицы) и упрощающие производство умножения и деления. В вопросах, где не требуется абсолютная точность результатов и можно ограничиться той или иной степенью приближения, огромные облегчения технике В. дают таблицы логарифмов (см.). В распоряжении вычислителя имеются в наст. время таблицы разной точности, начиная от трехзначных и кончая семи- и девятизначными, применяемыми в самых редких случаях. В инженерной практике, где можно часто ограничиться точностью до второго или третьего десятичного знака, широкое распространение имеют логарифмические линейки (см.), необычайно упрощающие технику расчетов. В последнее время начали широко распространяться и графические методы производства В. (см. Номография). Номографические методы и логарифмические линейки значительно сузили область применения логарифмических таблиц.
Практические вопросы, требующие значительных В., распадаются, гл. обр., на следующие типы: 1) В. значений сложных функции. 2) решение сложных уравнений и систем уравнений, 3) вычисление определенных интегралов и 4) приближенное интегрирование дифференциальных уравнении. Дли каждого типа этих В. существуют специальные методы, не поддающиеся объединению. В деле вычисления значения функции особую роль играют методы интерполяции (см.), т. е. определения значений некоторой Функции . определенной для ряда точек в промежуточных точках. Для целого ряда функций, имеющих важное теоретическое или практическое значение (например, для тригонометрических функций или функции , играющей основную роль в вопросах, связанных с теорией вероятностей, для Бесселевых, сферических и других функций), составлены таблицы. в к-рых даны значения функции через определенные промежутки значений аргумента (напр., в таблицах тригонометрических функций часто даются значения их через 1'). Методы интерполяции дают возможность быстро и с наибольшей возможной точностью определять значения функции для промежуточных значений независимой переменной, не вошедших в таблицу. Особые счетные приемы и вычислительные машины имеются для приближенного решения алгебраических уравнений (см.), а также для определения площадей, ограниченных сложными кривыми, по нек-рому числу заданных их ординат (см. Квадратуры). В деле приближенного интегрирования дифференциальных уравнений (см.) достижения не так велики; во все же и здесь имеются методы, часто дающие очень полезные результаты. Наконец, нужно отметить чрезвычайно важные практически методы уравнительных вычислений (см.), дающих возможность обработать наивыгоднейшим образом результаты непосредственных наблюдений. Общая теория их (т. н. способ наименьших квадратов) разработана Лежандром и Гауссом в начале 19 в.
Лит.: Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, Петербург, 1911; Безикович Я. и Фридман А., Приближенные вычисления, Л., 1925; Гаврилов А. Ф., Практика вычислений, М.—Л., 1926; Runge К. und König H., Vorlesungen über numerisches Rechnen, В., 1924: Whittaker E., The Calculus of Observations, Glasgow, 1924; Werkmeister P., Praktisches Zahlenrechnen, B., 1921; Dröll K., Kaufmännisches Rechnen zum Selbstunterricht, Frankfurt a/M., 1921; Sanden H., Praktische Analysis. Lpz., 1923; Männchen Ph., Geheimnisse der Rechnenkünstler, Lpz., 1924; его же, Die Wechselwirkung zwischen Zahlenrechnen u. Zahlentheorie bei C. F, Gauss, «Materialien f. eine wissenschaftliche Biographie v. Gauss», Heft 6, Lpz., 1918; по уравнительным В.: Brunt D., The Combination of Observations, L., 1917; Идельсон Н., Уравнительные вычисления по способу наименьших квадратов. М.—Л., 1927.