[115]КОВАРИАНТНОСТЬ И КОНТРАВАРИАНТНОСТЬ, понятия, играющие важную роль в алгебре однородных линейных преобразований, теории алгебраических форм, векторном и тензорном исчислении. Пусть система из
переменных
подвергается линейным однородным преобразованиям
|
(1)
|
Пусть далее другая система переменных
связана с системой переменных
так, что, когда переменные
преобразуются в переменные
, переменные
по определенному закону преобразуются в переменные
. Если переход от
к
совершается по формулам
|
(2)
|
то система переменных
ковариантна (одинаково преобразующаяся) или когредиентна с системой
если же преобразование системы переменных
происходит по формулам
|
(3)
|
то система переменных
![{\displaystyle y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d30d30b6c2dbe4d6f150d699de040937ecc95f)
контравариантна (противоположно преобразующаяся) или контраградиентна с системой
![{\displaystyle x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158)
.
Иначе говоря, если оба линейных преобразования
и
характеризуются одной и той же матрицей
, то системы
и
называются ковариантными; если же матрица линейного преобразования
получается из матрицы
путем замены горизонталей вертикалями, то системы
и
называются контравариантными. Пример: всякий раз, как на плоскости выбраны два независимых вектора
, то какой-нибудь вектор
той же плоскости может быть двояко определен парой чисел: 1) «координатами 1-го рода» — скалярными произведениями
; 2) «координатами 2-го рода» — коэффициентами
в разложении
. Если заменим векторы
новыми
, то вектор а получит новые координаты как 1-го, так и 2-го рода; при этом оказывается, что координаты
преобразуются ковариантно векторам
, а координаты
— контравариантно. К. и к. играют важную роль при построении инвариантов (см.). Например, скалярное произведение двух векторов может быть выражено через координаты сомножителей в косоугольной системе координат столь же просто, как и в Декартовой прямоугольной, если для одного из [116]векторов взять координаты первого рода, а для другого — второго рода.
Более общим образом система
переменных
называется ковариантной с системой
, преобразующейся по формулам (1), если она преобразуется по формулам
и контравариантной с системой
— в случае соотношений
Например, коэффициенты
формы m-й степени
преобразуются контравариантно по отношению к самим переменным
. В современном тензорном исчислении (см.) принято различать ковариантные и контравариантные системы, пользуясь в одном случае нижними индексами, в другом — верхними (напр.,
и
).
Лит.: Широков П. А., Тензорное исчисление, ч. 1, Л. — М., 1934; Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 5 изд., М. — Л., 1937.