БСЭ1/Эллипс

Эллипс
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Электрофор — Эфедрин. Источник: т. LXIV (1933): Электрофор — Эфедрин, стлб. 62—63 ( РГБ )

ЭЛЛИПС, плоская кривая, к-рую можно получить из круга, если его «сжать» в одном из двух взаимно-перпендикулярных направлений (рис. 1). Э. есть один из типов конических сечений (см.).

Э. представляет ограниченную замкнутую кривую, имеющую центр и две взаимно-перпендикулярные оси симметрии (главные оси). Если взять оси симметрии за координатные, то уравнение Э. можно представить в виде:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Величины a и b называются полуосями Э.

На большей оси на расстоянии $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ по обе стороны от центра лежат две точки, называемые фокусами Э. Рис. 1.Рис. 1. Рис. 2.Рис. 2. Расстояние c называется линейным эксцентриситетом Э. Сумма расстояний каждой точки Э. до обоих фокусов есть величина постоянная и равна 2a (a — большая полуось). На этом свойстве Э. основан простейший способ его вычерчивания. Воткнув в лист бумаги две кнопки или булавки на расстоянии F₁ — F₂^{[ВТ 1]}, равном заданному линейному эксцентриситету, укрепляют на них нить длины 2a и, оттянув ее карандашом, проводят кривую так, чтобы нить все время оставалась оттянутой (рис. 2). Рис. 3.Рис. 3. Другой очень удобный способ графического построения Э. таков. На большой оси Э. AA¹ строим круг диаметра 2a (рис. 3); взяв ординату любой точки его MQ, получим точку Э. P, если уменьшим

ординату MQ в отношении a:b. Для этого строим на оси BB¹ круг радиуса 2b, проводим радиус OQ и через точку его пересечения с этим кругом R проводим прямую, параллельную AA¹; ее пересечение с MQ и дает искомую точку P. Существуют также приборы, так наз. эллиптические циркули, для механического построения Э.

Касательные и нормали к Э. проще всего можно построить, пользуясь теоремой о том, что касательная PT делит пополам угол F₁PS, а нормаль PN — угол F₁PF₂. Поэтому, если из точки P как центра провести окружность, проходящую через B, то нормаль PN должна быть параллельна OS (рис. 4).

Параллельно меньшей оси Э. на расстоянии ${\frac {a^{2}}{c}}$ по обе стороны от центра расположены две прямые, называемые директриссами Э. Рис. 4.Рис. 4. Отношение расстояния точки Э. до фокуса к ее расстоянию до директриссы есть постоянная величина, именно $e={\frac {c}{a}}$. Эта величина называется численным эксцентриситетом Э. Указанное свойство касательной имеет применение в оптике (см.). Именно, если построить зеркало в форме поверхности вращения Э. вокруг большей оси и поместить светящуюся точку в фокусе эллипса, то после отражения лучи соберутся точно в другом фокусе.

Каждая хорда Э., проходящая через его центр, называется диаметром Э. Если углы φ₁, φ₂ двух диаметров с большей осью связаны зависимостью $\operatorname {tg} \varphi _{1}\cdot \operatorname {tg} \varphi _{2}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$, то диаметры называются сопряженными. Площадь эллипса равна πab. О проективном построении и свойствах эллипса см. Проективная геометрия.

Ур-ие Э. в полярных координатах, если за полюс взять один из фокусов, а за ось — большую ось Э.:

$r={\frac {p}{1+c\cos \theta }},~~~~{\text{где}}~~p={\frac {b^{2}}{a}}.$

Э. играют большую роль в астрономии (см.). Согласно закону Кеплера, планеты обращаются вокруг Cолнца по Э., причем Cолнце находится в одном из фокусов Э^{[ВТ 2]}.

Лит.: Любой курс аналитической геометрии (см.).

Примечания редакторов Викитеки

1. В редакции 2-ого завода, в 1-ом — F₁, F₂
2. В редакции 2-ого завода, в 1-ом — «Согласно закону Кеплера, планеты обращаются вокруг солнца по Э., причем солнце находится в одном из фокусов Э»