Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/12

Образование кривой третьего порядка по девяти заданным точками. —
Введение в геометрическую теорию плоских кривых, Art. 12.
автор Луиджи Кремона

См. Оглавление. Дата создания: 1862. Источник: Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1914. T. 1. Pag. 317-465.

65. Общая теорема (§ 50) при $n=2$ и $n'=1$ утверждает следующее:

Пусть заданы пучок коник и проективная ему звезда, тогда место точек, в которых лучи звезды пересекают соответствующие коники, является кривой третьего порядка или кубикой (cubica), проходящей через четыре общие точки коник и центр звезды.

Если $o$ — центр звезды, то касательная в $o$ к кубике — это луч, соответствующий той конике пучка, которая проходит через $o$.

Если $a$ — одна из базовых точек пучка коник, касательная в $a$ к кубике - это прямая, которая в этой точке касается коники, соответствующей лучу $oa$ (§ 51a).

Теоремы, обратные к предыдущим, получаются из теорем Шаля (§ 54):

1. Зафиксируем на кубике произвольным образом четыре точки $a,\,b,\,c,\,d$, тогда каждая коника, проведенная через эти точки, пересекает кубику еще в двух точках $m,\,m'$. Прямая $mm'$ проходит через фиксированную точку $o$ на кубике. Коники, проходящие через точки $a,\,b,\,c,\,d$, и прямые, проходящие через точку $o$, образуют два проективные пучка. Точка $o$ называется точкой, лежащей против четырех точек $a,\,b,\,c,\,d$ (punto opposto).
2. Зафиксируем на кубике произвольным образом три точки $a,\,b,\,c$ и еще точку $o$, тогда каждая прямая, проведенная через точку $o$, пересекает кривую в двух точках $mm'$; коника, проведенная через $a,\,b,\,c,\,m,\,m'$, проходит еще через некоторую другую фиксированную точку $d$ коники. Коники, проходящие через $a,\,b,\,c,\,d$, и прямые, проходящие через $o$, соотносятся проективно.

66. Пусть теперь задано девять точек $a,\,b,\,c,\dots ,i$ и требуется построить (costruire) определенную ими кривую третьего порядка, при помощи двух пучков — пучка коник и звезды прямых. Для составления баз этих пучков требуется пять точек, но только четыре базовые точки можно взять произвольным образом из числа заданных точек, пятую же точку еще необходимо отыскать. (§ 57-59).

Поскольку имеются две возможности, или эта неизвестная точка является базовой точкой пучка прямых, или одной из базовых точек пучка коник, имеется и два различных способа построения кривой второго порядка, соответствующие случаям 1° и 2° § 65. Мы здесь ограничимся первым способом построения, который был указан Г. Шалем.^[1]

Вообразим пять коник, описывающих четырехсторонник $abcd$ и проходящих соответственно через $e$, $f$, $g$, $h$, $i$. Систему этих пяти коник будем обозначать символом:

$(abcd)(e,f,g,h,i).$

Задача же состоит в отыскании точки $o$, такой, что система пяти прямых

$o(e,f,g,h,i)$

проективна системе пяти коник. Поскольку эта последняя проективная система касательных к коникам в точке $a$ (§ 46), рассматриваемая задача сводится к уже решенной (§ 62, 64). Построив точку $o$, лежащую против четырех точек $a,\,b,\,c,\,d$, мы определили пучки, пересечения соответствующих элементов которых образуют кривую, а следовательно, разрешили поставленный вопрос.

67. Допустим теперь, что две кубики заданы двумя системами девяти точек, среди которых четыре, скажем, $abcd$, общие двум кривым. Эти кубики пересекаются еще в пяти других точках, однозначно определяющих некоторую конику. Эту конику можно построить, минуя построение этих пяти точек и двух кубик.

Рассмотрим пучок коник, описывающих четырехсторонник $abcd$; пусть подвижная коника этого пучка пересекает первую кубику в точках $m,\,n$, а вторую кубику — в $m',\,n'$. Прямые $mn$ и $m'n'$ пересекают кубики в фиксированных точках $o$, $o'$, которые лежат против заданных точек $a,\,b,\,c,\,d$ на этих самых кубиках. При движении коники прямые $omn$ и $o'm'n'$ образуют две звезды, проективные пучку коник, а следовательно, и друг другу. Соответствующие лучи этих звезд пересекаются в точках, место которых представляет собой конику, проходящую через $o$, $o'$ и пять неизвестных точек, общих двум кубикам. Эта и есть искомая коника.

67a. Относительно этой коники мы уже знаем две точки $o$ и $o'$; другие три можно найти, используя три пары противоположных сторон четырехсторонника $abcd$, рассматриваемых как вырожденные коники пучка. В самом деле, пусть $m$ и $n$ — точки, в которых, помимо базовых, первая кубика пересекает прямые $bc$ и $ad$, а $m'$ и $n'$ — точки, в которых эти же прямые пересекают вторую конику. Прямые $mn$ и $m'n'$ являются двумя соответствующими лучами проективных звезд с центрами в точках $o$ и $o'$. Поэтому их общая точка принадлежит искомой конике. То же можно сказать и о двух других парах противоположных сторон $(ca,bd)$ и $(ab,ed)$.^[2]

Отсюда следует, что из девяти точек, общих двум коникам, пять любых однозначно определяют конику, проходящую через точку, лежащую против других четырех точек, как на первой, так и на второй кубике. ^[3]

67b. Пусть $a,\,b,\,c,\,d$ и $a',\,b',\,c',\,d'$ — восемь точек, общих двум кубикам; $o$ и $o'$ — точки, лежащие против двух систем $abcd$ и $a'b'c'd'$ на первой кубике. Прямая $oo'$ пересекает эту кубику еще в некоторой третьей точке $x$. По определению точки, лежащей против, обе коники, однозначно определенные системами $abcdo'$ и $a'b'c'd'o$, проходят и через $x$. Поэтому $x$ является девятой точкой, общей двум кубикам. ^[4]

Рис. к § 67c.

67c. Если $a,\,b,\,c,\,d$ — четыре точки кубики, то точка $o$, лежащая против них, может быть определена следующим образом. Пусть $m$ и $n$ — точки, в которых кривая пересекает прямые $ab$ и $cd$; прямая $mn$ пересекает кривую еще именно в точке $o$. Если точки $abcd$ сливаются (coincidono) в одну единственную точку $a$, то также и точки $m$ и $n$ сливаются в одну точку $m$, в которой кубика пересекается с касательной в $a$, а точка $o$ становиться пересечением кривой с касательной, проведенной в точке $m$. Используя терминологию, введенную в § (39b), можно сказать, что точка $m$ — касательная точка для $a$, а $o$ — касательная точка для $m$ или вторая касательная точка для $a$. Поэтому:

Если коника соприкасается с некоторой кубикой с кратностью четыре, прямая, соединяющая две оставшиеся точки пересечения этих кривых, проходит через вторую касательную точку для точки соприкосновения.

Отсюда сразу получаем:

Если коника соприкасается с некоторой кубикой с пятым порядком, то эти кривые пересекаются на прямой, соединяющей точку соприкосновения с ее второй касательной точкой.^[5]

67d. Собирая вмести результаты § 67b) и (67c), имеем: если две кубики соприкасаются с порядком четыре в точках $a$ и $a'$, девятая точка их пересечения $x$ лежит на одной прямой со вторыми касательными точками $o$ и $o'$ для точек соприкосновения $a$ и $a'$. Если точки $a$ и $a'$ совпадают, то также точка $o'$ совпадает с точкой $o$, а $x$ — со своей касательной точкой, то есть с третьей касательной точкой для $a$; поэтому:

Все кубики, соприкасающиеся с заданной кубикой с восьмым порядком в некоторой точке, проходят через третью касательную для точки соприкасания. ^[6]

67e. Теорема § 45b, в применении к кривой третьего порядка, дает:

Если кубика пересекается с кривой порядка $n$ в $3n$ точках, то все их касательные точки лежат на некоторой другой кривой порядка $n$.

Отсюда сразу следует (§ 44):

Коники, которые в точках пересечения кривой порядка $n$ и кубики соприкасаются с этой последней с пятым порядком, пересекают эту кубику еще в $3n$ точках, лежащих на некоторой кривой порядка $n$. ^[7]

Или также:

Если коника соприкасается с пятым порядком с заданной кубикой в точке $a$ и пересекает ее еще в точке $b$, и если $a'$ и $b'$ — касательные точки для $a$ и $b$, то существует такая коника, которая соприкасается с кубикой с пятым порядком в точке $a'$ и пересекает ее в точке $b'$.^[8]

Примечания

1. Chasles. Construction de la courbe du 3. ordre déterminée par neuf points (Comptes rendus, 30 mai 1853).
   Относительно других способов построения кубик и кривых более высокого порядка см. великолепные мемуары:
   • Jonquières, Essai sur la generation des courbes géométriques etc.
   • Hæsrtenberger, Ueber die Erzeugung geometrischer Curven (Журнал Крелля, Bd. 58, Berlino 1860, p. 54).
   <В своем экземпляре Кремона добавил еще ссылки на статьи Grassmann'а в журнале Креля, Bd. 31, 36, 42, 44, 52 за соответственно 1846, 1848, 1851, 1852, 1856 годы.>
2. В своем экземпляре Кремона отметил след. задачу: «Задано пять пересечений кубики и коники, найти шестое» и указал на мемуар: Poncelet, Applications d'analyse et de géométrie, tome 2, pag. 109.
3. Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 56.
4. Hart, Construction by the ruler alone to determine the ninth point of intersection of two curves of the third degree (Cambridge and Dublin Mathematical Journal, vol. 6, Cambridge 1851, p. 181).
5. Poncelet, Analyse des transversales, p. 135.
6. Salmon, On curves of the third order. (Philosophical Transactions of the Royal Society, vol. 148, part 2, London 1859, p. 540).
7. В самом деле, здесь имеется, во-первых, $3n$ точек $a_{1},\dots$, в которых пересекаются заданные кривые $C_{n}$ и $C_{3}$. Во-вторых, $3n$ вторых касательных точек $o_{1},\dots$ для этих точек. В силу теоремы, сформулированной в начале этого параграфа, точки $o_{1},\dots$ лежат на некоторой другой кривой $C_{n}'$. В-третьих, точки $b_{1},\dots$, в которых коники, соприкасающиеся с кубикой в $a_{1},\dots$ с пятым порядком, пересекают кубику. Точка $b_{i}$, согласно § 67c, лежит на одной прямой с $a_{i}$ и $o_{i}$. Поэтому все $9n$ точек суть пересечения кубики $C_{3}$ и кривой порядка $3n$, составленной из этих $3n$ прямых. Точки $a_{1},\dots ,o_{1},\dots$ лежат на кривой $C_{n}+C_{n}'$. Применяя теорему из § 44, видим, что остальные точки, то есть $b_{1},\dots$ должны лежать на некоторой кривой $C_{3}''$. Доп. условие теоремы здесь выполнено. — Перев.
8. Для доказательства достаточно рассмотреть точку $a$ как на последовательность пяти точек. — Перев.