Хотя народы древвяго міра не знали нашей алгебры, но это не мѣшало имъ заниматься такими вопросами, которые принадлежатъ, собственно говоря, алгебрѣ. Еще у египтянъ въ древнѣйшей рукописи-папирусѣ Ринда рѣшаются уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ; въ этихъ уравненіяхъ мы встрѣчаемъ и знаки, напр., своеобразный знакъ равенства / /__. Задача помѣщена, между прочимъ, такая: «⅔ цѣлаго числа вмѣстѣ съ его ½, и 1/7 и съ этимъ же цѣлымъ числомъ даютъ 33, найти неизвѣстное»; прежде всего отбираются извѣстные члены въ одну часть, а неизвѣстные въ другую, коэффиціенты при неизвѣстныхъ представляются основными дробями (т. е. съ числителемъ 1) или же выражаются въ одинаковыхъ доляхъ и складываются; величина неизвѣстнаго опредѣляется такъ: въ первомъ случаѣ умножается коэффиціентъ на подходящее число, такъ чтобы въ произведеніи получился извѣстный членъ, а во второмъ множатъ извѣстный членъ на знаменателя коэффиціента и полученное дѣлятъ на числителя.
Греческіе ученые занимались алгеброй въ періодъ времени съ VI ст. до Р. X. и кончая IV ст. по Р. X. Они разработали нѣсколько отдѣловъ ея, но ихъ труды идутъ въ иномъ направленіи, чѣмъ какого держится новѣйшая математика, именно они носятъ на себѣ геометрическую окраску.
Прежде всего Пиѳагоръ (въ VI ст. до Р. X.) и Платонъ (въ V ст.) рѣшили въ цѣлыхъ числахъ уравненіе х2+y2=z2.
Пиѳагоръ далъ такія формулы: , гдѣ а равно любому нечетному числу; по Платону , гдѣ а любое четное число.
Діофантъ, жившій въ Александріи въ 4 в. по Р. X., оказалъ алгебрѣ большія услуги. До него древніе не знали употребленія буквъ при доказательствахъ въ общемъ видѣ, Діофантъ же первый сталъ вводить различные знаки для неизвѣстныхъ величинъ, главнымъ образомъ греческія буквы; ему обязана своей разработкой глава объ уравненіяхъ, именно объ уравненіяхъ первой степени со многими неизвѣстными и о полныхъ квадратныхъ уравненіяхъ. Вотъ примѣръ изъ Діофанта:
дѣлимъ 1-е уравненіе на 2 и получаемъ ,
теперь положимъ, что , тогда
Діофантъ занимался также неопредѣленными уравненіями первой и второй степени, но ему не удалось найти полнаго ихъ рѣшенія въ цѣлыхъ числахъ; это сдѣлали уже Эйлеръ, нѣмецкій математикъ 18 в., и французскій математикъ Лагранжъ (1736—1813).
Индусы называли неизвѣстныя величины, которыя мы теперь обозначаемъ черезъ х, у, z и т. д., черной величиной, голубой, желтой, зеленой, красной и обозначали ихъ первыми буквами тѣхъ словъ, которыя выражаютъ эти цвѣта. Индусскіе математики 6—12 в по Р. X. знакомы были, правда, съ греческой ариѳметикой и алгеброй, но они далеко опередили грековъ. Они знали ирраціональныя числа, знали, что всякій квадратный корень имѣетъ два значенія: положительное и отрицательное, и дошли до мнимыхъ величинъ. Баскара (въ 12 в.) принялся за кубическія уравненія, и вотъ его примѣръ:
| вычтемъ по | |
Вплоть до 18 вѣка индусскіе математики являлись учителями европейскихъ математиковъ и образцами для нихъ, и лишь Лагранжу и Эйлеру удалось двинуть науку далѣе и превзойти индусовъ.
Арабскіе ученые переняли отъ индусовъ начала алгебры и перенесли въ Европу, гдѣ ею занялись главнымъ образомъ итальянцы.
Лука-де-Бурго (въ 15 ст.) перешелъ къ уравненіямъ 4-й степени и рѣшалъ тѣ изъ нихъ, которыя приводятся къ квадратнымъ. Тарталья и Карданъ (въ 16 ст.) объяснили рѣшеніе кубическихъ уравненій, притомъ всякихъ безъ исключенія, а Людовикъ Феррари далъ общую формулу рѣшенія уравненій 4-й степени.
Віета (1540—1603) положилъ начало общей ариѳметикѣ тѣмъ, что сталъ обозначать буквами не только искомыя количества, но и данныя; до него же буквами обозначались только тѣ количества, которыя требавалось опредѣлить; по способу Віета извѣстныя величины въ уравненіяхъ обозначались согласными буквами латинскаго алфавита, а неизвѣстныя—гласными.
За Віетой слѣдовалъ англичанинъ Гарріотъ (1560—1621). Онъ нашелъ, что всякое уравненіе высшихъ степеней является произведеніемъ уравненій низшихъ степеней, что между коэффиціентами и корнями уравненія есть опредѣленная зависимость; онъ ввелъ знакъ неравенства и предложилъ писать буквенныхъ множителей рядомъ, безъ всякаго знака; но коэффиціентъ онъ отдѣляетъ отъ буквы точкой и степени обозначаетъ повтореніемъ количества, т. е. вмѣсто a3 пишетъ aaa. Французъ Декартъ (1596—1650) положилъ начало аналитической геометріи и ввелъ нынѣшнюю форму цѣлыхъ степеней. Голландецъ Жираръ ввелъ скобки, Исаакъ Ньютонъ (1642—1727) — дробныя степени и биномъ, шотландецъ Непиръ (въ 17 ст.) — логариѳмы съ натуральнымъ или гиперболическимъ основаніемъ е=2,7182818...
Вскорѣ послѣ него англійскій профессоръ Бриггь (ум. въ 1630) вычислилъ логариѳмы при основаніи 10. Такимъ образомъ, получается 7 дѣйствій общей ариѳметики: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степень, извлеченіе корня, логариѳмированіе; иные присоединяютъ еще восьмое дѣйствіе—нахожденіе числа по логариѳму. Теорія чиселъ, т. е. ученіе о свойствахъ чиселъ, была извѣстна въ нѣкоторой степени еще древнимъ грекамъ. Особенное развитіе она получила въ новѣйшее время.