О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/3
Об образовании кривой при помощи двух проективных пучков — Art. 3. О двойных точках кривых, принадлежащих одному пучку |
Оригинал: итальянский. — Перевод опубл.: 1864. Источник: Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1915. T. 2. Pag. 138 и сл. |
8. Пусть кривые заданного пучка порядка имеют общую точку кратности и пусть — две точки, зафиксированные на плоскости произвольным образом (ср. Introd. 88). Поляры для относительно этих кривых имеют в точку кратности с теми же касательными, что и заданные кривые и эти касательные составляют инволюцию степени . Напротив, поляры для имеют в точку кратности и их касательные можно собрать в инволюцию степени . Эти две инволюции проективны и в силу Introd. 74 произвольная группа второй инволюции является полярой для относительно пучка прямых, составляющих соответствующую группу в первой инволюции.
Два пучка поляр для и , будучи проективными, порождают кривую порядка , имеющую в точку кратности , касательные в которой — это лучи, общие двум описанным выше инволюциям, которым, очевидно, являются прямая и двойные лучи инволюции степени (Introd. 19).
Аналогично, поляры для и порождают другую кривую порядка , проходящую раз через точку и имеющую здесь в качестве касательных прямую и двойные лучи инволюции степени .
Таким образом, две кривые порядка имеют в точку кратности и общих касательных, поэтому точка представляет пересечений этих кривых. Поскольку может быть заменена на базовых точек пучка поляр для и поскольку , имеем:
Если кривые некоторого пучка имеют общую точку кратности , то эта точка эквивалентна двойным точкам этого пучка.[1]
9. Допустим теперь, что кривые заданного пучка имеют в общей точке кратности также и общих касательных: в этом случае обозначим как ту кривую, которая имеет дуг, пересекающихся в (Introd. 48).
Поляры для имеют в точку кратности , а поляра проходит раз через эту точку. Эта же точка имеет кратность для поляр для , за исключением поляры , которая имеет дуг, пересекающихся в . Два пучка поляр, будучи проективными, порождают кривую порядка с точкой кратности в (Introd. 51).
Аналогично, поляры для и для порождают другую кривую того же порядка, имеющую дуг, пересекающихся в . Это означает, что эта точка считается за пересечений построенных двух кривых порядка . С другой стороны представляет базовых точек пучка поляр для (Introd. 32); поэтому в собрано двойных точек заданного пучка.
10. Если среди общих касательных в к заданным кривым имеется , совпадающих с некоторой прямой , эта последняя касается в дуг каждой из поляр для и дуг каждой из поляр для и для (Introd. 74). Следовательно, каждая из двух построенных выше кривых порядка в имеет касательную, совпадающую с прямой . В этом случае точка представляет пересечений названных кривых. Итого:
Если кривые некоторого пучка имеют общую точку кратности и в ней все касательные явлются тоже общими, причем из них совпадают с одной и той же прямой, то эта точка считается как двойных точек пучка.
В частности, если , то есть все касательные совпадают с одной и той же прямой, кратная общая точка эквивалентна двойным точкам пучка.
11. Предположим наконец, что одна единственная кривая , среди кривых заданного пучка, проходит раз через точку и здесь имеет касательных, сливающихся с одной прямой . Тогда поляра имеет дуг, пересекающихся в точке и имеющих те же касательные, что и кривая дуги . Поляра имеет в точку кратности с касательными, совпадающими с . Поэтому пучки поляр для и для порождают некоторую кривую порядка , имеющую точку кратности в и касательных, совпадающих с (Introd. 51, g). Аналогичная кривая с теми же свойствами порождается полярами для и для другой произвольным образом выбранной точки . Значит, для этих двух кривых порядка точка считается за пересечений; итого:
Если в некотором пучке имеется кривая с точкой кратности и совпадающими касательными, то эта точка считается за двойных точек пучка.
12. Если точка , имеющая кратность для кривой , принадлежит также как простая точка другой кривой заданного пучка, то в этой точке имеет место касание кратности , поэтому все поляры для проходят через , то есть в этой точке пересекаются дуг каждой из кривых порядка , порождаемых двумя пучками. Отсюда следует, что эти кривые имеют пересечений в . Но в этой точке также сливаются базовых точек пучка поляр для ; поэтому:
Если кривая некоторого пучка проходит раз через некоторую базовую точку и имеет здесь совпадающих касательных, то эта точка считается как двойных точек пучка.
Примечания
[править]- ↑ Очевидно, эквивалентна при подсчете, предпринятом в Introd. 88. — Перев.