Предположимъ теперь, что существуетъ ещe какая-нибудь точка нe лѳжащая на прямой и удовлетворяющая пропорции:
Проведя и мы должны заключить (227), что первая изъ этихъ прямыхъ есть биссектрисса угла , а вторая—биссектрисса угла ; вслѣдствіе этого уголъ составленный изъ двухъ половинъ смежныхъ угловъ, долженъ быть прямой, а потому вершина его лежитъ на окружности, описанной на какъ на діаметрѣ.
Такимъ образомъ, мы доказали, что всякая точка , принадлежащая искомому геометрическому мѣсту, лежитъ на окружности . Теперь докажемъ обратное предложеніе, т.-е., что всякая точка этой окружности принадлежитъ геометрическоіму мѣсту.
Пусть есть произвольная точка этой окружности. Требуется доказать, что . Проведя черезъ прямую , будемъ имѣть слѣдующія пропорціи:
- Откуда
т.-е. точка есть середина прямой . Такъ какъ уголъ вписанный и одирается на діаметръ, то онъ прямой; поэтому </math>△DME</math> прямоугольный. Вслѣдствіе этого, если середину гипотенузы примемъ за центръ и опишемъ окружность, то эта окружность пройдетъ черезъ ; значитъ, . Подставивъ теперь въ продорцію (1) на мѣсто равную ей прямую будемъ имѣть:
Когда разсматриваемое геометрическое мѣсто, очевидно, обращается въ прямую, перпендикулярную къ отрѣзку въ его серединѣ.
Замѣчаніе. Окружность, о которбй говорится въ этой теоремѣ, извѣстна подъ названіемъ Аполлоніевой окружности (Аполлоній—греческій геометръ, жившій за 2 вѣка до Р. Xp.).
