441. Теорема. Если въ пирамидѣ (черт. 386) проведемъ сѣкущую плоскость (Z1D1C1D1D1) параллельно основанію, то отсѣчемъ отъ нея другую пирамиду (SA1B1C1I1F1) подобную данной.
Такъ какъ Z1D1 Il ZD, D1C1 Il DC и т. д. (373), то боковыя грани двухъ пирамидъ подобны; основанія ихъ также подобны (414). Остается доказать равенство многогранныхъ угловъ. Уголъ S у обѣихъ пирамидъ общій; трегранные углы Z1, D1, C1... равны соотвѣтственно угламъ Z, D, C..., потому что у каждой пары этихъ угловъ плоскіе углы соотвѣтственно равны и одинаково расположены (402, 3°).
442. Теорема. Двѣ призмы или двѣ пирамиды подобны, если основаніе и боковая грань одной и основаніе и боковая грань другой соотвѣтственно подобны, одинаково наклонены и одинаково расположены.
Пусть у двухъ призмъ (черт. 387) соотвѣтственно подобны и одинаково расположены основанія ABCDE, abcde и грани AA_1B_1B, aa_1b_1b (на чертежѣ онѣ покрыты штрихами) и, кромѣ того, равны двугранные углы AB и ab. Для доказательства подобія этихъ призмъ, разсуждаемъ въ такой послѣдовательности. Трехгранные углы B и b равны, потому что они имѣютъ по равному двугранному углу (AB и ab), заключенному между двумя соотвѣтотвенно равными и одинаково расположенными плоскими углами (АBС = аЬс и ABB_1 = abb_1); отсюда слѣдуетъ, что равны плоскіе углы B_1BC и b_1bc, а также и двугранные BC и Ьс. Если же у двухъ параллелограммовъ BB_1C_1C и bb_1c_1c имѣется по одному равному углу, то и остальные углы ихъ соотвѣтственно равны; такъ какъ, сверхъ того,
- (изъ подобія основаній)
- и (изъ подобія бок. граней)
- то
Эначитъ, грани BB1C1C и bb_1c_1c подобны. Переходя теперь къ треграннымъ угламъ C и c, совершенно такъ же убѣдимся, что они равны и что
