Сложимъ почленно эти неравенства и затѣмъ отъ обѣихъ частей полученнаго неравенства отнимемъ по AD и AC; тогда получимъ:
AE<AB+BC+CD+DE.
54. Опредѣленіе. Если между двумя точками A и D (черт. 50) по одну сторону отъ прямой AD проведены такія двѣ ломаныя линіи, что одна изъ нихъ — ABCD — вся заключена внутри, фигуры, образованной другою линіей — AEFGD — съ отрѣзкомъ прямой AD, то первая ломаная наз. объемлемой, а вторая объемлющей.
Черт. 50.
55. Теорема. Выпуклая ломаная короче всякой другой ломаной, объемлющей ее.
Пусть (черт. 50) ABCD есть выпуклая (34) ломаная, а AEFGD
какая-нибудь другая ломаная (выпуклая или невыпуклая — все равно), объемлющая первую; требуется доказать, что:
AB+BC+CD<AE+EF+FG+GD.
Продолживъ стороны выпуклой линіи, какъ указано на чертежѣ, можемъ написать слѣдующія неравенства (53):
AB+BH<AE+EH
BC+CK<BH+HF+FG+GK
CD<CK+KD.
Сложимъ почленно всѣ эти неравенства и затѣмъ отъ обѣихъ частей полученнаго неравенства отнимемъ вспомогательные отрѣзки BH и CK; далѣе замѣнимъ сумму EH+HF черезъ EF и сумму GK+KD черезъ GD; тогда получимъ то неравенство, которое требовалось доказать.
56. Теорема. Если выпуклый многоугольникъ заключенъ весь внутри какого-нибудь другого многоугольника, то периметръ перваго меньше периметра второго.
