Для этого проведѳмъ чѳрѳзъ E какую-нибудь сѣкуціую прямую MN; обозначимъ виутренніѳ односторонніе углы, образуѳмыѳ этоао сѣкущѳю съ прямыми CD и AB, буквами м Черт. 88. а и Ъ. Тогда одно изъ двухъ: или сумма а--Ъ нѳ равна 2^, или она равна 2d. Въ первомъ случаѣ согласно постулату Эвклида, прямая AB должна перѳсѣчься съ CD и, слѣд., она нѳ можетъ быть параллельной CD; во вто- ромъ случаѣ сумма а ZrB1EN окажется нѳ равной 2д, (такъ какъ уголъ B1EN не равенъ углу BEN); значитъ, тогда, со- гласно тому же постулату, пря- мая AiB1 должна пересѣчься съ CD и, слѣд., эта прямая нѳ можетъ быть параллельной CD. Такимъ образомъ, одна изъ прямыхъ AB и A1B1 непремѣнио окажется нѳпараллельной пря- мой CD; слѣд., черезъ одну точку нельзя провѳсти двухъ различныхъ прямыхъ, параллельныхъ одной и той жѳ прямой.
92. Сущѳствуетъ очень много и другихъ прѳдложеній, такжѳ логи- чески обратимыхъ съ постулатомъ Эвклида (и, слѣд., ѳму логически равносильныхъ). Укажѳмъ, напр., слѣдующія прѳдложѳнія, которыя нѣкоторыми изйѣстными геометрами ставилиеь въ основаніѳ теоріи параллельныхъ линій: Существуетъ по крайней мѣрѣ одинъ треугольникъ, у котораго сумма угловъ равиа 24 (французскій математикъ JI ѳ ж а н д р ъ, въ началѣ XIX столѣтія). Существуотъ выпуклый чѳтырѳугольникъ (прямоугольникъ), у ко- тораго всѣ чѳтырѳ угла прямыѳ (французскій математикъ K л о д ъ K л ѳ р о, XVIII столѣтіѳ). Сущѳствуетъ треугольникъ, подобный, но нѳ раѣный, другому трѳугольнику (итальянекій математикъ C а к к ѳ р и, начало XVIII столѣтія). Черѳзъ всякую точку, взятую внутри угла, мѳньшаго 2Л, можно провести прямую, пѳрѳсѣкаюціую обѣ стороны этого угла (нѣмѳцкій математикъ JI о р ѳ н ц ъ, конецъ XVIII стол.); и другія. Такъ какъ постулатъ Эвклида и всѣ другіе, равносильныѳ ему, нѳ обладаютъ качѳствомъ очѳвидности, то весьма многіѳ математііки, начиная съ древнихъ времѳнъ и до конца первой четвѳртн XIX столѣтія, дѣлали нѳоднократныя попытки доказать постулатъ Эвклида (или какой-нибудь другой, ѳму равносильный), т.-с. вывести его, какъ логичѳскоѳ слѣдствіе, изъ другихъ аксіомъ геометрій. Всѣ эти попытки оказались однако нѳудачиыми: въ каждомъ изъ такихъ «дока-
