АЛГЕБРАуже греческие и арабские математики не могли пройти мимо извлечения корня и придумали остроумные способы приближенного вычисления; по взгляд на иррациональность, как на число, установился значительно позже. Что касается мнимых чисел, то на них наталкивают также уравнения 2 — ой степени (если под квадратным корнем оказывается отрицательная величина), но долгое время математики их чуждались. Отдельные смельчаки, правда, еще в 16 и 17 вв. пробовали с успехом пользоваться выражениями, квадрат к-рых равен отрицательному числу, вопреки всем дотоле принятым правилам. Одна алгебраич. задача (вопрос о существовании и о числе корней уравнения, см. ниже) прямо наталкивала на введение т. н. мнимых чисел; но сознательное их введение в науку оказалось делом только 19 в., когда комплексные числа, благодаря исключительно важным приложениям к интегральному исчислению и теории функций, получили всеобщее признание.
Итак, если оставить в стороне мнимые числа, то уже к 18 в. А. сложилась в том, приблизительно, объеме, к-рый до наших дней преподается в средней школе: А. охватывает шесть действий: четыре ранее известных арифметических и два новых — возведение в степень и извлечение корня. Эти действия производились над числами или буквами, к-рые могли обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. Указанные действия употреблялись в решении задач, в существенном сводившихся к уравнениям 1 — ой и 2 — ой степени, хотя известна была уже с 16 в. формула для решения и уравнений 3-ей степени, и вырабатывались с 17 и 18 вв. способы для приближенного решения уравнений высших степеней. Классическое выражение эта А. 18 в. нашла в знаменитой «Алгебре» Л. Эйлера (1770), — швейцарца, работавшего в Петербурге членом Академии наук и сделавшего чрезвычайно много для развития как А., так и других отраслей математики. Эта книга послужила образцом для позднейших учебников, в том числе и современных нам, — учебников т. н. «элементарной А.» (до уравнений 2 — ой степени включительно). Обычно в школах в понятие А. включают еще теорию логарифмов (см.), представляющую собою практическое применение теории степеней. В последнее время намечается сближение элементарной А. с теоретической арифметикой (см.), а с другой стороны, современные методы преподавания требуют тесного соединения («фузии») A., арифметики и геометрии.
Лит.: Лучшим современным русским учебником элементарной А. считается: Лебедипцев, К., Руководство алгебры, ГИЗ, 1925; Теоретическое изложение А. в «Энциклопедии элементарной математики» Вебера и Вельштейна, рус. пер. под ред.
B. Кагана, 3 изд., ГИЗ, 1926: Историю элементарной А. и арифметики см. у J. Тгорfkе, Geschichte der Elementar-Mathematik, второе изд. 1921—22, томы II и III.
Современная высшая алгебра.
Составленное из букв и чисел путем перемножения выражение вида, напр., 5а*Ьх8у называется одночленом. Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) называется многочленом или целой алгебраической функцией. Приравнивая многочлен какому-нибудь числу (напр., нулю), мы получаем алгебра 142
ическое уравнение относительно входящих в многочлен букв. Теорией таких алгебраических ур-ий и целых алгебраических функций и занимается А. В этом — определение алгебры.
Методы, выработанные А., характеризуются преобладанием тех же шести «алгебраических» действий, из к-рых каждое повторяется конечное число раз.
Алгебраич. методы избегают бесконечных процессов и представления о бесконечно-малом; однако, это разграничение от «анализа бесконечно-малых» не может считаться жестким.
Если обратить внимаппе на одну из входящих в ур-ие букв, напр., х, то можно члены уравнения расположить по степеням этой буквы: аохп {-atxn — 1 4-...+ aw=0. [1] Число п — показатель старшей степени — называется степенью уравнения, а множители при степенях х — к оэффициентами. Основной вопрос алгебры заключается в том, можно ли всегда (т. — е. при любых численных значениях коэффициентов а0, а,..... ап) подобрать число х так, чтобы уравнение удовлетворялось (число х тогда будет корнем уравнения). Положительный ответ на этот вопрос дан в 17 в. Жираром, доказан Даламбером, в окончательной форме — Гауссом (1799): если допускать и комплексные числа, то ур-ие n-ой степени имеет всегда ровно п корней xt, xt..... хп. Доказывается, что если xt — один из корней ур-ия, то левая часть ур-ия [1] делится нацело на выражение х — хц ур-ие тогда можно представить в виде а, (х — xt) (х — х,)...(х — xw)=0. [2] Нек-рые из корней могут быть равны между собою (кратные корни).
Сравнивая в выражениях [1] и [2] коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного х, придем к замечательной зависимости между коэффициентами ур-ия и корнями. Удобнее при этом предварительно разделить обе части ур-ия на а0, т. — е. перейти к ур-ию вида х^+р^х*-1 4 — pjX**-* +..... +Рп = 0. Коэф фициенты тогда выразятся через корни по следующим формулам: — +xt+... + xn; р,=х1х, + х1х,+ .... +xtx, 4-...; — р1=х1х1х,+ ...; ( — i)»*pw=xlxtx8... xn. [3] Но не все корни равноценны практически. Если ур-ие произошло от какой-либо практической задачи, то его коэффициенты чаще всего — числа действительные. Корни, тем не менее, могут быть мнимыми, хотя практическое решение представят только вещественные корни, а в нек-рых задачах — только положительные корни или только корпи, не превосходящие известного числа, и т. д. Отсюда — задача определения числа действительных корней или числа корней в известном промежутке (больше а и меньше д).
Задача облегчается тем, что при действительных коэффициентах мнимые корни, если они есть, всегда попарно сопряжены, т. — е. если x*=y+zi есть корень, то и х'=у — zi будет корнем (г — мнимый символ, i8—1). Следовательно, ур-ие нечетной степени (с действит. коэффициентами) имеет всегда по крайней мере один действительный корень.
Еще в! 7в. Декарт дал «правило знаков» для суждения о числе корней: положительных корней не больше, чем перемен знаков (-ь на — или наоборот) в ряду коэффициентов ур-ия. Вопрос о числе корней в известном промежутке окончательно решен теоремой Штурма (19 в.), показавшего, как после подготовки алгебраическими действиями (делением многочленов) можно это число определить при помощи аналогичного «правила знаков» совершенно точно. Эти методы были обобщены и распространены на комплексные корни. Впрочем, метод Штурма на практике очень затруднителен и мало применяется, хотя имеет большое теоретическое значение.
Главнейшей практической задачей является р еш ение ур-ия, т. — е. определение величины его корней при заданных коэффициентах. На практике коэффициенты являются сами результатами каких-либо измерений или вычислений (напр., астрономических), т. — е., вообще говоря, числами, известными приближенно, поэтому и величину корня можно искать только приближенно, с точностью, зависящей от точности коэффициентов и практических потребностей.
Способов решения существует несколько. Один из них основан на следующем. Пусть х, корень ур-ия (1), к-рое сокращенно запишем /(х) = 0. Пусть установлено, что в известном промежутке, напр., между числами 1 и 2, находится один единственный корень ур-ия хи Тогда доказывается, что результаты подстановки чисел, лежащих между 1 и 2, в левую часть ур-ия будут, не доходя до х,, одного знака (напр., < 0), а после Xi — другого знака. Подставим в /(х) вместо х числа 1, 1, 1, 2, 1, 3,.... 1, 9, — если окажется, что, напр., 1, 3 дает отрицательный знак /(х), а 1, 4 — уже положительный, то корень xt лежит между 1, 3 и 1, 4; следовательно, он известен уже с точностью до двух десятичных знаков: х,=1, 3..... Продолжая
