АЛГЕБРАдальше, найдем корень с любой точностью. Этот способ решения применялся еще в 17 в. Ньютон, Фурье и другие указали ряд упрощений, ускоряющих выбор пробных чисел и облегчающих выкладки.
Идея другого способа состоит в том, что от заданного ур-ия переходят к другому или к целой цепи других, корни к-рых определенным образом связаны с корнями заданного, но численное решение к-рых проще. Можно простыми действиями от ур-ия с искомыми корнями хг, х2,.... хп перейти к другому, корни aW
2Ш
к-рого Хг®, х29,.... х9п или даже xt, ха, ..... хп .
С увеличением степени %т корни нового ур-ия все более и более резко различаются между собою по своей величине. В копце-концов можно дойти до ур-ия, один из корней к-рого xt настолько подавляюще больше всех остальных, что в формуле для коэффициента — Pi=x.+x2+ +хи окончательного ур-ия можно пренебречь остальными корнями и положить приближенно X] — — Из остальных формул (3) таким же путем легко получатся приближенно остальные корни. Этот способ разработан Греффе и технически настолько удобен, что на практике вытеснил все остальные, особенно в случаях, когда требуется большая точность.
Наряду с разработкой методов численного решения ур-ия, издавна старались найти алгебраические решения, т. — е. выражения корней через коэффициенты при помощи шести «алгебраических» действий. Для квадратного ур-ия х9 + рх + q = 0 решение р 1 / р® дается известной формулой х «---- Г Д----------В этом случае алгебраич. решение имеет практический смысл, т. к. вычисление квадратного корня есть простая и удобная операция. Алгебраическое выражение для корней ур-ия 3-й степени найдено в 16 в. Для ур-ия вида xs+px+Q = 0 (к к-рому можно привести всякое ур-ие 3-ей степени) решение дается «ф о рмулой Кардана»:
Эта формула, однако, дает способ вычисления корня только в том случае, когда ур-ие имеет один действительный корень и два мнимых. При трех действительных корнях формула для вычисления непригодна, т. к. в ней неожиданным образом оказывается мнимость, избавиться от к-рой алгебраическими способами невозможно (можно, однако, воспользоваться этой формулой для выражения корня через тригонометрические функции). Аналогично положение с ур-ем 4 — ой степени, где также существует формула решения, не имеющая практического значения.
Алгебраическое решение (решение «в радикалах»), т. о., лишено непосредственного практического значения; к тому же в начале 19 в. Абель и Галуа доказали, что ур-ия степени выше 4 — ой, вообще говоря, в радикалах не решаются. Тем не менее, задача алгебраического решения ур-пй была подробно разработана и приобрела большое научное значение.
Только теперь она предстала в более углубленном виде (Галуа), — а именно, решение ур-ий при помощи радикалов (т. — е. извлечения корней А из числа) равносильно сведению первоначального ур-пя к цепи ур-ий вида ут^А, к-рые и выражают собою, что У А. Сведение к таким ур-ям в общем случае невозможно; но спрашивается, к цепи каких более простых ур-ий можно свести решение ур-ия заданного? Иными словами, задача ставится так: через корни каких более простых ур-ий выражаются корни заданного ур-ия рационально (т. — е. при помощи 4 «рациональных» действий — сложения, вычитания, умножения и деления)? Если левая часть ур-ия с рациональными коэффициентами разлагается на произведение двух множителей, также с рациональными коэффициентами у каждого, то ур-ие называется приводимым и равносильно двум ур-ям низших степеней.
Если перед решением заданного ур-ия решено какое-либо вспомогательное ур-ие, то с корнями последнего можно оперировать наравне с рациональными числами. Мы, т. о., «присоединяем» к области рациональных чисел нек-рые иррациональные числа и получаем более широкую «область рациональности», к-рая состоит из всех чисел, составленных рациональными действиями из обыкновенных рациональных чисел и присоединенных иррациональных. Может оказаться, что ур-ие, неприводимое в первоначальнойобласти, становится приводимым в расширенной, т. — е. распадется на уравнения, коэффициенты к-рых будут числами новой области, содержащими присоединенную иррациональность. Приравнивая нулю один из множителей, мы получим ур-ие более низкой степени, но зато с более сложными коэффициентами.
В таком целесообразном расширении области и состоит задача алгебраического решения ур-ий в самом общем случае.
При рассмотрении этих вопросов существенны рациональные функции от корней ур-ия. Простейшими из рациональных функций являются функции симметрические, название к-рых достаточно определяет, в чем дело. Еще в 17 в. доказано, что все симметрические функции выражаются рационально через коэффициенты ур-ия, к-рые сами тоже являются симметрическими функциями, как это видно по формулам [3], приведенным выше.
При алгебраическом решении ур-ий приходится рассматривать и не-симметрические функции от всех корней ур-ия. Оказалось, что ключей ко всей задаче алгебраического решения ур-ий является рассмотрение того, как меняется значение функции при той или иной перестановке (или «подстановке») корней. Г ал у а (1830) изучил эти подстановки, законы их сочетания, влияние их на функции от корней ур-ия и создал, т. о., новую отрасль математики — теорию групп, к-рая впоследствии оказалась очень важной по приложениям и в других отраслях, кроме алгебры, а именно в геометрии и теории функций.
Остановимся на одном примере. Из ур-ий, решаемых в радикалах, особенно важны по своим приложениям ур-ия вида х** = 1 [4]. Они имеют один (4—1) или два (=4=1) действительных корпя, остальные — комплексные. При геометрическом представлении комплексных чисел все эти корни лежат на окружности радиуса 1 вокруг начала координат и притом симметрично в вершинах правильного n-угольпика. Геометрически решение [4] равносильно поэтому делению круга на п равных частей. Отсюда ур-ия [4} получили название «уравнений деления круга».
Еще в древности возбуждала интерес задача деления круга циркулем и линейкой. Аналитическая геометрия показала, что построение циркулем и линейкой равносильно пользованию ур-ми Рой и 2 — ой степени. Следовательно, задача ставится так: в каких случаях ур-ие [4] сводится к цепи ур-ий степени 1 и 2? Гаусс показал, что это возможно только в очень редких случаях (п»«2, 3, 5, 17, 257, 65537..... и их произведения), в остальных случаях обязательно участвуют ур-ия высших степеней, а значит, циркуля и линейки для построения недостаточно.
Многочлены с несколькими переменными приводят к ур-ям со многими неизвестными и системам нескольких ур-ий. Если ур-ий п, то из них в общем случае можно определить п неизвестных.
Однако, иногда часть ур-ий оказывается следствием остальных, тогда часть неизвестных (или все) оказываются неопределенными; нек-рым неизвестным можно давать произвольные значения, — остальные же выразятся через них. Иногда, наоборот, уравнения оказываются противоречащими друг другу, тогда решения вовсе пет.
Наиболее важен случай системы ур-ий первой степени (их называют линейными уравнениями), т. — е. системы ур-ий вида а^хг 4 — а^х3 +...... + ninxn= bi, где xlf ха..... неизвестные, участвующие во всех ур-ях системы, а коэффициенты а^, п,», bl — числа, в обозначении к-рых значок г указывает на номер ур-ия системы. — Теория этих уравнений привела Лейбница (нач. 18 в.) к построению очень практичного метода вычисления решений, получившего название теории определителей (см.) или д етермин антов. Исчисление детерминантов чрезвычайно упростило работу во многих отраслях математики. Именно системы ур-ий первой степени имеют особую важность благодаря тому, что при заведомо малых значениях неизвестных (напр., при отыскании поправок в астрономических вычислениях) можно старшими степенями неизвестных в первом приближении пренебречь (в виду их чрезвычайной малости), и всякую систему заменить приближенной линейной.
Системы ур-ий высших степеней сводят кодн ом у ур-нию путем т. н. исключения неизвестных. Так, при двух неизвестных х, у из двух ур-ий степени пит получается одно ур-ие с одной неизвестной х (или у) степени пт (в частных случаях иногда степень ниже). Если даны два ур-ия с одной и той же неизвестной и буквенными коэффициентами, то после исключения неизвестной получается нек-рое ур-ие между коэффициентами, выражающее условие того, что данные ур-ия могут быть совместно решены без противоречий. Это новое ур-ие называется резул ьт а нт о м предыдущих. При вычислении результантов, обычно пользуются также определителями (см. выше)
