ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО — ГЕОМЕТРИЯГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО, обыкновенно совокупность всех точек, обладающих некоторым определенным свойством. Так, Г. м. точек на плоскости, сумма расстояний к-рых от двух данных точек имеет постоянное значение, есть эллипс. Кривые линии классической геометрии, кроме конических сечений (см.), обычно определялись как Г. м. В наст, время говорят также о Г. м. кривых, разумея под этим поверхности, образуемые кривыми определенного свойства. В особом смысле слова кривую рассматривают как Г. м. ее касательных (см. Двойственность). Геометрическ. место имеет большое значение в конструктивной геометрии (см.). В классической геометрии разыскание Г. м. осуществлялось в каждом случае особым методом и часто представляло непреодолимые затруднения. Аналитгическая геометрия (см.) дает для этой цели совершенно общие приемы.
ГЕОМЕТРИЯ. Содержание: I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Геометрия на Востоке......................................... 323 Греческая, геометрия............................................ 325 Геометрия новых веков....................................... 337 Классическая геометрия 19 века...................... 345 Неевклидова геометрия.................................... 357 Геометрия 20 века...................Геометрия (греч., от ge — земля и metrein — измерять), наука о пространстве, точнее, наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, к-рые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение Г., или, вернее, таково действительное значение классической Г. Однако, современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие Г. принесло с собою глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в к-ром пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно уже не может служить первичным понятием, на к-ром покоится определение Г., а напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.
I.
Геометрия на Востоке.
Родиной Г. считают обыкновенно Вавилон и Египет. Г{) еч. писатели единодушно сходятся на том,"что Г. возникла в Египте и оттуда перенесена в Элладу. В передаче Прокла до нас дошел отрывок одного из первых, повидимому, сочинений, посвященных истории науки (его приписывают обыкновенно Евдему Родосскому, хотя это не вполне бесспорно), начинающийся следующими словами: «Так как нам необходимо здесь обозреть начало наук и искусств, то мы сообщаем, что Г., по свидетельству весьма многих, была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывавшегоч границы. Нет ничего удивительного в том', что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека, Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное.
Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума». Первая половина этого отрывка (ко второй мы возвратимся ниже) обычно приводится как историческое удо 324
стоверение того, что Г. возникла из потребностей практической жизни. Тот же рассказ, повидимому, из вторых рук, обычно с большими, но сомнительными подробностями, повторяют и многие другие греч. авторы (Герои Александрийский, Диодор, Страбон).
Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в Индии, в Ассирии, в Египте, были связаны с необходимостью измерять расстояния и участки на земле, объемы и веса материалов, продуктов, товаров; первые значительные сооружения требовали нивеллирования, выдержанной вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость измерять промежутки времени требовала систематического наблюдения над движением светил, а следоват., измерения углов. Все это было неосуществимо без знакомства с элементами Г., и во всех названных странах основные геометрические представления возникали частью независимо друг от друга, частью — в порядке преемствен. передачи. Однако, точных сведений о познаниях египтян в области Г. мы не имеем. Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус, написанный при фараоне Раусе ученым писарем его Ахмесом (Ahmes) в период между 2000 и 1700 до хр. э. Это — руководство, содержащее различного рода математические задачи и их решения; значительное большинство задач относится к арифметике, меньшая часть — к Г. Из последних почти все связаны с измерением цлощадей прямолинейных фигур и круга, при чем Ахмес принимает площадь равнобедренного треугольника равной произведению из основания на половину боковой стороны, а площадь круга — равной площади квадрата, сторона к-рого меньше диаметра на х/9 его часть (это дает тт=3, 160...); площадь равнобочной трапеции он принимает равной произведению из полусуммы параллельных сторон на боковую сторону.
Как видно из нескольких др. задач Ахмеса, египтяне в эту пору знали, что углы прямоугольного треугольника определяются отношением катетов. Как они пришли ко всем этим правилам, знали ли наиболее просвещенные жрецы — хранители египетской науки, — что их данные являются лишь приближенными, об этом мы не имеем никаких сведений. Столь же мало знаем мы о том, что прибавило к этим познаниям египтян следующее тысячелетие; сколько-нибудь значительных успехов они, во всяком случае, не сделали. Трудно сказать вполне точно, что из из этих сведений египтяне открыли сами и что они заимствовали от вавилонян и индусов. Несомненно лишь то, что геометрические сведения вавилонян были столь же отрывочны и столь же скудны. Им принадлежит деление окружности на 360°; они имели сведения о Параллельных линиях и точно воспроизводили прямые углы; все это было им необходимо при астрономических наблюдениях, к-рые, повидимому, гл. обр., и привели к их геометрическим знаниям. Вавилоняне знали, что сторона правильного вписанного в круг шестиугольника равна радиусу, и принимали тг =3. Характерным для этого первого, в известном смысле доисторического, периода Г. являются две стороны
