перегиба, имеющихся на ней особенных точек, и т. д. Т. о., объединение аналитической Г. с дифференциальным исчислением дало совершенно общие приемы для разрешения этих вопросов. Проведение касательной к кривой в данной ее точке, служившее для всех этих вопросов точкой отправления и осуществлявшееся ранее особыми приемами для каждой кривой, оказалось самой элементарной в этом ряде задач и получило общее разрешение, доведение к-рого до конца, вообще говоря, не представляет затруднений. С другой стороны, метод исчерпывания, для применения к-рого к самым простым частным случаям Архимед писал целые книги, теперь развился в интегральное исчисление (см.), в к-ром все задачи метрики получили общее решение. Более сложные задачи этого рода упираются только в трудности интегрирования, выполнение к-рого нам во всяком случае доступно с любой степенью точности. Но, может быть, наиболее существенную сторону дела составляет приведение вопросов Г. к дифференциальным уравнениям. Функция и ее последовательные производные, естественно, тесно между собою связаны. Для обширных категорий (классов, семейств) функций эта связь выражается уравнениями, в которые, вместе с переменными и функцией, входит определенное число ее производных; это так наз. дифференциальные уравнения (см.). В соответствии с этим и различные категории геометрических мест характеризуются дифференциальными уравнениями различного типа; интегрирование этих дифференциальных уравнений приводит к разысканию этих геометрических мест. Если аналитическая Г.
Декарта-Эйлера дала возможность алгебраическими средствами устанавливать и исследовать геометрические места, к-рые задаются свойствами и соотношениями, непосредственно выражающимися в виде зависимостей между координатами, то средства современного анализа бесконечно-малых дали возможность вскрывать эти соотношения в тех случаях, когда непосредственные задания облекаются только в форму дифференциальных уравнений. Сюда относятся свойства геометрических мест, к-рые зависят от положения касательных и касательных плоскостей, от кривизны и т. п. геометрических элементов, выражающихся через производные от координат в различных весьма многообразных комбинациях. Важнее всего то обстоятельство, что этого рода заданиями почти всегда определяются те геометрические места, к которым приводят задачи прикладного знания — механики, астрономии, физики и от разыскания к-рых часто вполне зависит решение этих задач. Геометрические элементы играют в этих дисциплинах огромную, часто доминирующую роль. Разыскание траекторий движения тел, в частности, орбит небесных светил, силовых линий электрических и магнитных полей, поверхностей уровня, изотермических, изобарных, изоклинических линий и поверхностей, — все это основные задачи механики, астрономии, физики, тесно связанные с Г. К началу 19 века в трудах Лагранжа, Лапласа и Фурье эти науки получили ужеизвестное завершение. Все эти ученые были геометрами; вернее, в методах этих творцов нового прикладного знания Г. играла настолько доминирующую роль, что в обиходе франц. ученых исчезло слово «математик», уступив место более почетному званию «геометр». Первое систематическое изложение всех применений исчисления бесконечно-малых к Г. дал Монж в сочинении «Feuilles d ’analyse appliqu6e & la g^omdtrie», P., 1795. По общей схеме Монжа до сих пор составляются главы курсов анализа, посвященные его приложениям к Г., так что с этой схемой до нек-рой степени знаком всякий, кто серьезно учился высшей математике.
Изобразительная Г. С именем Монжа связано такое же завершение другой геометрии, дисциплины — начертательной геометрии (см.), или, как ее правильнее называют немцы, изобразительной Г. («Darstellende Geometric»). Задача изобразительной Г. заключается в таком графическом воспроизведении образа заданного объекта, по к-рому можно было бы с точностью воспроизвести геометрические формы этого объекта. Такие изображения почти всегда приходится воспроизводить на плоскости (на листе бумаги, полотне, камне, стене); сообразно этому и изобразительная Г. представляет собою почти исключительно теорию изображения предметов на плоскости; в этом изображении пространственных образов на плоскости и заключается трудность задачи. Ни одна отрасль Г. не возникла так непосредственно из практических задач, как изобразительная Г. Первые попытки воспроизведения (рисования) природных объектов относятся к временам доисторической древности; в античном мире это искусство уже достигло высокой степени совершенства, но оставалось только искусством, и лишь с того момента, как условия жизни предъявили к этому изображению требования точности, возникает специальная наука — теория графического изображения. Основ для этой теории естественно было искать в способах восприятия зрительных ощущений — в оптике, точнее в геометрической оптике (см.).
Прямолинейность светового луча имеет здесь решающее значение. Если объект находится между глазом и нек-рой плоскостью, напр., стеной, то глаз является центром, из к-рого предмет проектируется пучком лучей на плоскость. Это обстоятельство, на к-рое указывал уже Евклид в своей «Оптике», сделало центральную проекцию основой всей изобразительной Г. Первые систематические шаги в этом направлении принадлежат римскому зодчему и инженеру Витрувию, написавшему незадолго до христ. эры трактат об архитектуре в 10 книгах. Однако, идеи Витрувия не оказали большого влияния на развитие изобразительной Г., и она заново начала строиться в эпоху Возрождения. Три имени играют здесь решающую роль: величайший представитель итал. Ренессанса Леонардо да Винчи (1452—1519, см.), немецк. художник Дюрер (1471—1528, см.) и франц. архитектор, инженер и математик Дезарг (1593—1662, см.). В своем трактате о живописи («Trattato della pittuга»), к-рый в печати появился только в 1701,
