Леонардо дал в математической форме систематические указания о том, как нужно использовать центральное проектирование для получения изображения, не дающего искажений; эти идеи легли в основу дисциплины, позднее получившей широкое распространение и развитие под названием учения о перспективе (см.). Дюрер в своем сочинении «Unterweisung der Messuageп» (1525) пользуется не центральной, а параллельной проекцией, составляющей, собственно, частный случай центральной. Чтобы определить положение тела в пространстве, должны быть заданы три координаты каждой его точки, т. е. ее проекции на три плоскости.
Но, если нас интересует только форма тела, а положение его в той или другой части пространства значения не имеет, то достаточно располагать проекциями всех точек тела только на две плоскости. Этим и пользуется Дюрер. Однако, идея координат ему еще совершенно чужда. Он проектирует пространственную кривую (например, винтовую спираль) на горизонтальную плоскость («Grundriss») и на вертикальную («Aufriss»); обе проекции в совокупности дают полное и точное изображение кривой, к-рую можно по этому изображению воспроизвести, если известны плоскости проекций. Но эта необходимость пользоваться все же двумя плоскостями проекций находится в противоречии с основной задачей — дать изображение пространственного объекта на одной плоскости. Друг и последователь Декарта, Дезарг, много занимавшийся перспективой, относит пространственный объект к трем взаимно перпендикулярным плоскостям, как это обычно делается в аналитической Г., и проектирует его на одну из плоскостей координат (т. н. первая проекция). После этого он проектирует объект вместе с осями и первой проекцией на плоскость изображения, на к-рой, т. о., получаются две проекции — самого объекта и его первой проекции; по ним уже возможно восстановить в точности изображаемый объект; развитие этого метода получило название аксонометрии. — Целый ряд позднейших геометров занимался развитием этих идей, применяя их к изображению отдельных объектов. При этом, однако, аксонометрия, казавшаяся в своей первоначальной схеме очень сложной, в ту пору применялась мало — развитие изобразительной Г. шло по линии перспективы и двух проекций. Заслуга Монжа троякая.
Во-первых, он решил вопрос о построении изображения на одной плоскости, перенеся вторую (вертикальную) проекцию также в первую горизонтальную плоскость; при этом вторая плоскость с нанесенной на ней проекцией поворачивается на 90° вокруг линии пересечения обеих плоскостей (линии земли); получаемые таким образом в горизонтальной плоскости две проекции образуют т. н. эпюр, по к-рому уже можно с точностью воспроизвести изображаемый объект; учение о построении и «чтении» эпюра и составляет содержание начертательной Г. Монжа. Во-вторых, Монж свел весь материал, собранный в применении к многообразным отдельным объектам, в стройную систему.
В-третьих, он попытался использовать этиграфические методы для целей общегеометрического исследования: так как изображаемый объект вполне определяется эпюром, то геометрическое исследование этого объекта может быть сведено к изучению эпюра. Эта последняя идея, однако, существенных результатов не дала. Книга Монжа представляла собою учебник начертательной Г. для парижской Политехнической школы; печать этого сочинения и по сей день лежит на всех руководствах по начертательной геометрии.
Комментаторы Евклида. В области элементарной синтетической Г. вся эпоха Возрождения была занята продолжающимся комментированием «Начал» Евклида.
Арабский геометр Нассир-эддин, германский — Клавий, итальянский — Саккери, англичане Симеон и Грегори — таковы имена важнейших комментаторов этого продолжительного периода. Под различными широковещательными названиями — «Восстановленный Евклид» («Euclides restitutus»), «Обновленный Евклид» («Euclides „ renovatus»), «Евклид, освобожденный от всяких пятен» («Euclides ab omni naevo vindicatus») — > выходят комментированные издания, обыкновенно, однако, ничего существенного в истолкование «Начал» не вносящие. Конец 18 века принес с собою и завершение комментирования Евклида. В 1794 знаменитый франц. геометр Лежандр выпустил сочинение под названием «Начала геометрии» («Elements de geomdtrie»). По существу это было первое сочинение, в к-ром основы Г. изложены по плану, значительно отличному от плана «Начал». Существенные его особенности заключаются в следующем. Из «Начал» устранено все, что к Г. не относится и без чего можно обойтись при элементарном обучении Г. Система арифметизирована: всюду введена метрика, теория пропорций изложена в арифметической схеме; учение о несоизмеримых отношениях обойдено. В связи с этим достигнуты значительные упрощения, хотя утрачен принципиально геометрическ. подход Евклида. У Лежандра нет геометрической алгебры — напротив, алгебраические методы облегчают изложение Г. Если в наших учебниках элементарной Г. чувствуется прообраз «Начал» Евклида, то, читая Лежандра, каждый в наст, время выносит впечатление, что он учился по его руководству.
Элементарная Г. вылилась в форму, научно и логически более слабую, но более доступную: геометрии стали учиться не философы, а дети, и для них была приспособлена эта учебная книга.
Т. о., к концу 18 в. оформились и получили завершенное выражение те течения геометрической мысли, которые возникли в эпоху Возрождения и постепенно развивались в течение 6 веков. Существенные черты новой Г. этой второй (после эллинской) эпохи расцвета заключались в исследовании тех же вопросов, к-рые занимали греч. геометров, но при помощи совершенно новых методов. Принцип «geometriam geometrice» отпадает; напротив, в Г. находят широкое приложение две новые математические науки — алгебра и исчисление бесконечно-малых. Новые методы геометрического иссле-
