дования носят гораздо более абстрактный характер, они дальше от непосредственной интуиции. Вместе с тем, они дают более общие средства для решения конкретных задач; часто вопрос разрешается механически, как только он надлежащим образом поставлен. От геометризации алгебры делается переход к алгебраизации Г., и только изобразительная Г. строится старыми, чисто геометрическими методами. Чем шире развиваются эти методы, тем глубже становятся их практические применения. Не случайно, что именно во Франции основные геометрические дисциплины получают в эту пору свое завершение, что в лице Монжа они имеют наиболее яркого своего выразителя.
То было время разгара Французской революции и борьбы за ее лозунги. Монж принадлежал к числу вождей революции; он был якобинцем и министром революционного правительства. Человек широкого ума, он в предисловии к своей «Начертательной геометрии» следующим образом формулировал задачи научного образования: «Чтобы вывести франц. нацию из той зависимости от иностранной промышленности, в которой она до настоящ. времени находилась, необходимо, в первую очередь, направить национальное воспитание к познанию вещей, требующих точности, — что до сих пор находилось в полном пренебрежении, — и приучить руки наших специалистов («artistes») к употреблению всевозможных точных инструментов». Если Монж является инициатором этой реформы образования, то другие франц. ученые находились под его влиянием, и это определяло направление их творчества.
IV. Классическая геометрия 19 века.
Возрождение синтетических методов. Могло казаться, что развитие, которое новая Г. получила в трудах франц. геометров конца 18 в., привело к некоторому завершению ее и что для нового толчка остается ждать эпохи нового Возрождения.
Этого, однако, не случилось: 19 в. принес с собою новый глубокий переворот и в содержании Г., и в ее методах, и в самых взглядах на ее сущность. Наиболее характерной чертой новой Г. была ее алгебраизация. Но из самых корней алгебраического метода росли противоречия, имевшие двоякий источник. Во-первых, сама алгебра (см.) не так уж сильна. Границы классической Г. определялись теми вопросами, к-рые алгебраически сводятся к уравнениям первой и второй степени. Эти уравнения в чрезвычайно простой форме разрешаются в радикалах.
В этом содержится ключ к исследованию кривых линий и поверхностей 2 — го порядка, источник простоты и изящества, с к-рыми Г. древних переводится на алгебраический язык. Но при изучении более сложных кривых, хотя бы даже алгебраических, средства алгебры в общем исследовании утрачивают свою простоту. Формулы Кардана и Ферари, служащие для выражения корней уравнений 3-й и 4-й степени, с их мнимыми радикалами, от к-рых нельзя избавиться, почти не находят себе применения. За пределами 4-й степени таких формул для общего решения уравнений не существует. Прихо 346
дится оперировать такими свойствами алгебраических уравнений, в широкой общности к-рых расплываются отдельные частные задачи. Именно этц общие вопросы алгебраической Г. все же получили разрешение, а для решения многих отдельных задач методы Декарта дали меньше, чем от них можно было ожидать. — Вторая сторона дела заключается в том, что в цепи уравнений и алгебраических выкладок теряется наглядность и пространственная интуиция; этот мощный рычаг синтетической Г. здесь совершенно отказывается служить. К этому присоединялось то обстоятельство, что нек-рые части алгебры и анализа не были еще достаточно обоснованы и содержали противоречия в самих себе. Эти противоречия вызывали не только сомнения, но и прямое раздражение у тех, кому неотчетливость мысли невыносима; а математику, привыкшему к строгости логической мысли, такое умонастроение бывает особенно тягостно. Выдающийся ученик Монжа, Карно считал, что даже учение об отрицательных числах, играющее в методе координат такую важную роль, полно противоречий; он требовал освобождения Г. от «иероглифов анализа». Стремление к преодолению возникших таким образом противоречий привело и к возрождению чисто геометрических методов. Этот процесс развертывался в различных направлениях; наиболее плодотворный путь был связан с методами изобразительной Г. Его исходные пункты коренятся еще в исследованиях Менелая.
Теорема Менелая об отрезках, на которые большой круг на сфере и прямая на плоскости рассекают стороны треугольника, привела к простому доказательству замечательного предложения, что при центральном проектировании ангармоническое отношение четырех точек (ABCD) на большом круге в сферической Г. и на прямой в плоскости сохраняет свое значение, т. е. то же значение имеет ангармоническое отношение (A'B'C'D') проекций этих точек. Точное выражение этого предложения — не в этих, конечно, словах — имеется уже у Паппа; но через 1.000 лет в терминологии Дезарга оно формулируется уже след, образом: при перспективном изображении четыре точки на прямой имеют ангармоническое отношение своим инвариантом. К этому предложению Дезарг присоединил другое, на первый взгляд мало с ним связанное, но в действительности имеющее к нему, как увидим ниже, непосредственное отношение: если два треугольника АВС и А'В'С' имеют, как указано на рис., перспективное расположение, то точки пересечения соответствующих сторон а, Ъ, с расположены на одной прямой (рис. 4). Это предложение, получившее название теоремы Дезарга, послужило точкой отправления новой синтетической Г.
Идеи Дезарга вообще не пользовались при его жизни признанием; к числу немногих геометров, к-рые высоко ценили Дезарга и его методы,, принадлежал Паскаль (1623—1662). Он сосредоточил свое внимание на том, что образующие круглого конуса при пересечении секущими плоскостями дают перспективное изображение одного конического сечения на плоскость другого; любое кони-
