ния все еще не были вполне удовлетворены.
После работ Бельтрами субъективная уверенность в логической непротиворечивости гиперболической Г. овладела всеми, но объективно дело так благополучно не обстояло.
Осуществление получила не вся гиперболическая Г., а только планиметрия, и то не целиком, а лишь, так сказать, участками.
Начались поиски псевдосферы, на которой гиперболическая Г. осуществлялась бы целиком; такая псевдосфера должна была бы иметь бесконечное протяжение во всех направлениях, сохраняя правильность (отсутствие ребер, особых точек). Такой псевдосферы не находили; гораздо позднее (1901) Гильберт обнаружил, что такой псевдосферы и не может быть. — Вместе с тем возникли глубокие философские вопросы. В каком отношении стоит неевклидова Г. к реальному пространству? Что представляет собой Г., если она допускает многообразные формы? И каковы выводы относительно постулата Евклида, к которым приводит самый факт возможности неевклидовой Г.? Развитие идеи об интерпретации Г. Группа движений. Однако, в первую очередь необходимо было дать полное объективное доказательство отсутствия в гиперболической Г. каких бы то ни было логических противоречий. Сочинение Бельтрами, в котором получили выражение изложенные выше идеи, носило название «Опыт интерпретации неевклидовой Г.» («Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea», 1868). Этот термин «интерпретация» получил принципиальное значение. В дальнейшем развитии идей Бельтрами под интерпретацией геометрической системы разумеют создание такой системы образов, к к-рой она применима. Геометрическая система выливается в определенное словесное выражение, в котором фигурирует ограниченное число основных геометрических терминов. При самом построении системы с этими терминами с большей или меньшей отчетливостью соединялись определенные объекты, к-рые под этими терминами разумелись. Эту систему объектов называют исходной интерпретацией геометрической системы. Наши обычные представления о точке, прямой, поверхности и т. п. составляют исходную интерпретацию евклидовой Г. В историческом ходе развития Г. царило молчаливое убеждение, что это и есть единственная система образов (объектов), к-рые надлежит под терминами Г. разуметь. В своем трактате о проективных свойствах фигур Понселе впервые ввел т. н. принцип двойственности (см.), заключавшийся в том, что каждое предложение проективной Г. (для простоты будем иметь в виду Г. плоскости), при надлежащей его формулировке, остается справедливым, если заменить друг другом те объекты, к-рые мы разумеем под терминами «точка» и «прямая». Это имеет двоякий результат. Во-первых, это обнаруживает, что исходная интерпретация проективной Г. не единственная; она допускает другую — дуальную интерпретацию. Во-вторых, если содержание того или иного предложения, соответствующее новой интерпретации, перевести на язык исходной интерпретации, то получим новоепредложение, дуальное с исходным. Будем, напр., говорить, что прямая и точка «инцидентны», если точка лежит на прямой, или, что то же, если прямая проходит через точку. Предложение «две прямые определяют инцидентную с ними точку» остается, очевидно, справедливым, если под терминами «точка» и «прямая» разуметь соответственно то, что первоначально разумелось под терминами «прямая» и «точка». В этом виде предложение будет в первоначальной терминологии означать «две точки определяют инцидентную с ними прямую». Другой пример.
Основное предложение Дезарга гласит: «Если прямые, определяемые парами соответствующих вершин двух треугольников, имеют общую точку (пересекаются в одной точке), то" соответствующие стороны попарно определяют три точки, имеющие общую прямую (лежащие на одной прямой)». Дуальное предложение: «Если точки, определяемые попарно соответствующими сторонами двух трехсторонников, имеют общую прямую (лежат на одной прямой), то соответствующие вершины трехсторонников попарно определяют три прямые, имеющие общую точку (проходящие через одну точку)» — представляет собою то же предложение в иной интерпретации терминов. Учение о полюсах и полярах представляет собою обширный отдел проективной Г., в к-ром с особенной отчетливостью сказывается как принципиальная сторона дела — формальный характер самых предложений, в которые при различной интерпретации терминов можно вложить различное содержание, — так и практическое его значение, дающее возможность, так сказать, удвоить геометрический материал. Учение Гаусса о поверхности как о гибкой пленке, сохраняющей свою Г. при всевозможных изгибаниях, по существу, представляет собою развитие того же принципа.
Различные формы, которые поверхность может путем изгибания принимать, дают различные интерпретации единой геометрической системы. Г. псевдосферы представляет собою интерпретацию гиперболической планиметрии; по терминологии Гаусса можно было бы сказать, что гиперболическая плоскость представляет собой одно из изгибаний псевдосферы. По более правильной современной терминологии, каждая псевдосфера однозначно отображается на части гиперболической плоскости. Все расхождение теории с интуицией в процессе создания неевклидовой Г., вызывавшее к ней столько недоверия, имело своим источником то обстоятельство, что ей присваивалась неподходящая интерпретация, что с ее терминами связывались объекты, к к-рым применялась евклидова, а не гиперболическая Г. Бельтрами указал другую интерпретацию, другую систему объектов, в применении к которым предложения плоской гиперболической Г. справедливы. Она перестала вызывать сомнения. Но интерпретация гиперболической Г., данная Бельтрами, была все же несовершенна, так как она не охватывала гиперболической плоскости целиком и совер^ шенно не была пригодна для трехмерной гиперболической Г. Более совершенную интерпретацию дали Ф. Клейн и Б. Риман. Не-
