евклидова Г. была построена Лобачевским по той схеме и примерно в том объеме, в к-ром классическая Г. развивалась до Монжа. Бельтрами связал ее с изобразительной Г., Клейн подвел под нее проективную базу, Риман же в своем посмертном мему аре развернул ее по замыслу дифференциальной Г. Гаусса. Все пути, направления и средства классич. Г. соединились, т. о., в создании системы неевклидовой Г. Мало того, потребовались новые средства анализа, и на помощь пришли только что начинавшие развертываться идеи Софуса Ли, принесшие с собой развитие замечательных идей Галуа — теорию групп (см.) непрерывных преобразований. Эти новые идеи понадобились для расширенной интерпретации понятия о движении.
Когда мы говорим о движении фигуры по поверхности постоянной кривизны, напр., в простейшем случае, о движении прямоугольника по поверхности цилиндра, то это движение приходится понимать не так, как мы себе представляем движение фигуры по плоскости. В то время как на плоскости движение фигуры (того же прямоугольника) происходит без ее деформации, с тремя степенями свободы, на круглом цилиндре такое скольжение неизменяемой фигуры возможно только вдоль оси или параллельно круговому сечению; если же, напр., прямоугольник из продо льн. положения ABDC поворачивается в поперечн. положение A'B'D'C' (рис. 13), то он меняет свою форму: прямолинейные стороны АС и BD обращаются в дуги окружностей и, наоборот, дуги АВ и CD обращаются в прямолинейные отрезки. Эта деформация происходит путем изгибаРис. 13. ния, т. е. при ней не меняются ни длины линий, ни углы, ни расположение частей. Тем не менее, это — не то движение, которое имел в виду Евклид, При движении фигуры по псевдосфере она подвергается деформации, как бы мы ее ни сдвинули. В терминологии, которой мы выше пользовались, можно сказать, что геометрическое движение по-разному интерпретируется в Г. Евклида и в Г.
Гаусса-Бельтрами. Интерпретируя гиперболическую планиметрию на псевдосфере, Бельтрами связывает иные представления не только с геометрическими образами и величинами, но и с движением. Клейн подверг анализу те основания, к-рые дают нам возможность навязывать новые интерпретации такому основному понятию, как движение.
Нужно иметь в виду, что в обыкновенном построении Г. мы систематически пользуемся движением, но фактически никогда его не производим. Когда мы говорим «наложим треугольник АВС на треугольник А'В'С'», мы этого механического процесса не осуществляем; для нас важно только сообразить, с какой точкой при этом совместится каждая точка треугольника. Когда мы производим движение плоскости в самой себе, то каждая ее точка М приходит в некоторую точку М'; движение относит к каждой точке М соответствующую ей точку М'.
Иначе говоря, движение плоскости в са 368
мой себе осуществляет в ней некоторое геометрическое преобразование. Для Г. только это преобразование и имеет значение; там же, где значение приобретает уже не только преобразование, а самый процесс, которым оно механически осуществляется, начинается механика. Такое преобразование представляет собою движение в Г. Евклида и движение по псевдосфере в рассуждениях Бельтрами. Эта точка зрения на движение как на геометрическое преобразование и была выдвинута Клейном; ее развитие нашло себе опору в теории Ли. Геометрические преобразования чрезвычайно многообразны, и возникает вопрос, можно ли любое преобразование принять за интерпретацию движения. Прежде всего необходимо отметить, что, когда мы говорим о движениях, то речь идет не об одном преобразовании, а о бесчисленном множестве их. Так, когда речь идет о движениях поверхности по себе самой, то такие движения имеют 3 степени свободы, т. е. каждое из возможных движений определяется 3 заданиями. Положим, что одно из этих движений £ совмещает какой-либо образ 31 с образом 31'; другое возможное движение 8' совмещает образ 31' с 31". В таком случае непременно должно существовать движение, совмещающее образ 31 с 31"; это есть лишь иное выражение того положения, к-рое обычно выражается аксиомой: если образ 31 конгруентен образу 31', а образ 31' конгруентен образу 31", то образ 31 конгруентен образу 31". Иначе говоря, геометрические преобразования, выражающие всю совокупность движений, таковы, что каждым двум из них в этой же совокупности всегда соответствует третье преобразование, заменяющее последовательное производство этих двух. Совокупность преобразований, обладающую таким свойством, С. Ли в обобщение идей Галуа назвал группой преобразований; он пришел к идее о группе непрерывных преобразований ок. 1870, нашел особый метод их исследования средствами исчисления бесконечно-малых и в короткое время так широко развил учение о непрерывных группах, что в 80 — х годах оно составляло уже цельную дисциплину. Ф. Клейн воспользовался идеями Ли, как только они были опубликованы, и установил, что геометрические преобразования, осуществляемые движениями, представляют собою группу с тремя степенями свободы при движении по поверхности, с шестью степенями свободы при движениях в пространстве. Он прежде всего обратил внимание на то, что группа движений обладает еще своеобразными особенностями. Прежде всего группа движений транзитивна. Это значит, что, как бы мы ни выбрали две точки Ми М', всегда существуют движения, приводящие точку М в точку М': движением можно любую точку привести в совмещение с любой другой точкой. Мало того, любым двум точкам МиNвГ. соответствует число (MN), выражающее в выбранной единице меры расстояние между этими точками. Если какое-либо движение приводит точки МиNвМ' и N', то (MN) = (M'N');расстояние остается при движении неизменным. На языке теории групп
