многообразия в точке Р, к-рое проходит через точку Р и содержит оба вектора: «j dx/ | и | дх/} Евклидово n-мерное пространство характеризуется тем, что для него Риманов тензор кривизны тождесгвенно обращается в нуль. Риман пытался также выяснить, какими метрическими свойствами обладает наше реальное объективное пространство, и высказал гениальную мысль о том, что мероопределение в нашем пространстве не может извне, по произволу надумываться нами, но что оно имманентно нашему пространству. Эти имманентные мероопределения задаются реально действующим притяжением между, массами, к-рое и определяет внутреннюю структуру пространства. Эти идеи развила дальше теория относительности, которая конкретизировала идеи Римана на более высокой ступени.
Только современная физика поставила проблему пространства в такой форме, в которой пространство снова должно отражать те объективные метрические соотношения, к-рыми обладает наше действительное пространство.
Современная физика (общая теория относительности) совершенно разрушила кантовскую теорию пространства и одновременно выявила истинное значение Евклидовой геометрии. Для небольших частей нашего пространства справедлива в статическом случае с почти полной точностью Евклидова геометрия, и это уясняет нам построение геометрии Евклида, к-рый исследовал именно эту частную структуру пространства. Евклидова геометрия т. о. также имеет свои корни в объективности, но она не имеет абсолютного значения в Ньютоновском или Кантовском смысле, а имеет лишь относительное объективное приближенное значение, относительное в смысле диалектического материализма.
В дальнейшем развитии n-мерной Д. г. значительную роль сыграло тензорное исчисление, значительно выигравшее в наглядности благодаря введенному Леви-Чивита фундаментальному понятию о бесконечно-малом параллельном перемещении. Леви-Чивита ввел это понятие на основе допущения, что всякое Риманово пространство Vn можно вместить в многомерное Евклидово пространство Rm. Если теперь А есть вектор пространства Vn в точке Р, лежащей в тангенциальном многообразии точки Р в Vn, то мы можем в Евклидовом пространстве переместить А параллельно самому себе в бесконечно-близкую к Р точку Р' пространства Vn; этот перемещенный вектор А' разложим на тангенциальную составляющую А* и нормальную Ап. Вектор Af Леви-Чивита называет бесконечно мало перемещенным вектором в Vn и показывает, что это бесконечно-малое параллельное перемещение не зависит от способа вмещения Vn в Rm и что оно является инвариантным по отношению к изгибанию, т. е. зависит только от метрической формы пространства Vn. Вообще говоря, оно зависит также от пути, вдоль которого происходит перемещение; только для Евклидова пространства оно является независимым от этого пути. Это понятие параллельного перемещения есть обобщение параллелизма в Евклидовом пространстве. Оно выделяет и подчеркивает самое существенное в этом понятии.
Благодаря введению приятия о бесконечно-малом параллельном перемещении многие понятия значительно выиграли в своей наглядности и значении. Геодезические (кратчайшие) линии оказались также прямейшими, т. е. такими, касательные к которым при перемещении вдоль кривой перемещаются параллельно самим себе.
Риманов тензор кривизны получил кинематическое истолкование и т. д.
Важнейшие комплексы проблем n-мерной Д. г. можно разделить на две категории. Проблемы первой категории посвящены изучению структуры n-мерных Римановых многообразий (исследование формулы (14). определяющей ds2, связи ее с Римановым тензором кривизны, однозначности параллельного перемещения векторов и его связи с вопросом об Евклидовом характере Риманова пространства, связи с группами движений, вопросы однородности Риманова пространства и т. д.].
Второй комплекс вопросов изучает геометрические образы в n-мерном Римановом пространстве, т. е. так наз. вмещенные в данное пространство образы. Этот круг идей совершенно аналогичен геометрии кривых и поверхностей в трехмерном Евклидовом пространстве.
Исходя из понятия о бесконечно-малом параллельном перемещении, некоторые математики (Веблен, Эйзенгарт, Скоутен, Вейль) развили так наз. не-Риманову дифференциальную геометрию, в которой в основу аффинной связи «в бесконечно-малом» кладется не метрика, а бесконечно-малое параллельное перемещение. Этим путем были созданы сначала инфинитезимальная аффинная Д. г., а затем инфинитезимальная проективная Д. г. В последнее время Г. Вейль («Mathematische Analyse des Raumproblems») и Э. Картан («Les groupes d’homog6nie des espaces g£n£rales», 1925) пытаются, исходя из бесконечно-малого параллельного перемещения, дать обоснование Римановой Д. г. с точки зрения теории групп и в частности дать глубокое объяснение Евклидовому характеру Риманова пространства «в бесконечно-малом».
Замена пространственного элемента.
До сих пор мы рассматривали в качестве пространствен 618
ных элементов только точки. Но в проективной геометрии вводят на основании дуалистического преобразования плоскости вместо точек прямые, а в пространстве вместо точек плоскости в качестве пространственных элементов.
Точно таким же образом можно ввести в качестве элементов пространства шары, прямые, поверхности второго порядка и т. п. Прямые и сферы как элементы образуют при этом в трехмерном’Евклидовом пространстве многообразие четырех измеренйй, поверхности второго порядка как элементы образуют девятимерное многообразие, т. к. они зависят от девяти произвольных коэффициентов. Задачи геометрической оптики дали толчок к систематическому исследованию пространственных образов, элементами к-рых служат прямые. Очень важно было создать адэкватный этим элементам аналитический аппарат. Таким аппаратом явились указанные Плюкером (1866—69) линейные координаты, давшие возможность простой, ясной и выявляющей геометрию образов обработки этих проблем.. При их помощи былй исследованы линейчатые поверхности, линейные конгруенции и линейные комплексы, т. е. образы, линейные координаты которых связаны тремя, двумя или одним уравнением. Особенно подробно были изучены (Монж, Гамильтон, Куммер, Студи) линейные конгруенции, так как проблемы геометрической оптики давали в этом направлении наибольшие стимулы.
Наряду с линейной геометрией особенно подробно была развита Софусом Ли, Ф. Клейном и в последнее время Г. Томсоном шаровая геометрия, в к-рой пространственным элементом служит шар. Вопрос о том, может ли Д. г. других обобщенных пространственных элементов (кроме линейной геометрии) иметь значение, остается еще открытым. Возможно, что дальнейшее развитие Д. г., связанное с волновой механикой и касательными преобразованиями, внесет совершенно новые точки зрения в самое здание Д. г.
Лит.: Гу рса Э., Курс математического анализа, т. I, М. — П., 1923; Егоров Д. Ф., Дифференциальная геометрия, М. — Л., 1924; Bianchi L., Lezioni di geometria differenziale, Pisa, 1920 (есть нем. nep.: Bianchi L., Vorlesungen uber Differentialgeometrie, 2 Aufl., Lpz. — B., 1910); Darbо u x G., Lemons sur les systCmes orthogonaux, 2 6d., P., 1910; Kommerell V. u. K., Allgemeine Theorie der Raumkurven und Flachen, В. I, 2 Auflage, Leipzig, 1909; Scheffers G., Anwendung der Differential-und Integralrechnung auf Geometric, В. I — II, Lpz., 1913.
И. Буретин и Л. Сретенский.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ, психологическая дисциплина, изучающая (согласно общепринятому толкованию) проблемы индивидуальных различий между людьми.
Однако характер накопленного Д. п. за последние 30 лет материала и тенденции ее развития показывают, что предметом Д. п. является не только психология индивидуальных различий, но и вообще вариативность психологических признаков. В силу этого объектом исследования Д. п. становятся все вопросы изменчивости психики под влиянием различных факторов развития: возраста, образования, трудовой деятельности, упражнения, разнообразных форм стимуляции и педагогического воздействия и т. д. Изменчивость психических функций данного индивида обозначается в Д. п. термином интравариативность (т. е. внутрйиндивидуальная изменчивость) в отличие отинтервариативн ости (т. е. междуиндивидуальной изменчивости). Обе формы вариативности изучаются в Д. п. как по отношению к отдельным индивидам, так и по отношению к группам индивидов, объединяемых по принадлежности к полу, национальности, расе, классу и т. д.
Типичной особенностью Д. п. капиталистических стран является резко выраженная классовая направленность буржуазных психологов при постановке сравнительно-психологических исследований. Таковы напр. излюбленные амер, психологами исследования сравнительной «одаренности» цветных и белых людей, исследования интеллекта у детей, принадлежащих к разным социальным группам (чрезвычайно показательны в этом отношении работы япон. психолога Хокена Кирихары, пытающегося доказать, что между детьми бедных и богатых родителей существуют прирожденные различия), и т. п.
