Страница:БСЭ-1 Том 33. Классы - Конкуренция (1938)-1.pdf/171

Для решения вопросов, возникающих при изучении колебательных явлений, обычно бывает достаточно знать только эти характеристики процессов.

Вопросы, возникающие при изучении колебательных явлений, можно разделить на три основных группы: 1) вопросы, связанные с механизмом возбуждения К., 2) вопросы распространения К. в различных средах и 3) вопросы воздействия К. на различные физич. устройства. Вопросы второй группы обычно рассматриваются отдельно и составляют предмет учения о волнах. К собственно «теории колебаний» относят только первую и третью группы вопросов. В данной статье рассматривается гл. обр. только первая группа вопросов и лишь кратко — вопросы третьей группы, т. к. эти вопросы относятся уже к проблеме резонанса (см.). — Проблема возбуждения К. сводится к вопросу о том, при каких условиях могут происходить колебательные процессы в устройствах, не подвергающихся колебательным воздействиям извне; такие системы называются автономными. Действительно, если бы К. в рассматриваемом устройстве являлись результатом колебательного воздействия извне, то проблема возникновения К. не была бы решена, а лишь обойдена, т. к. остался бы нерешенным вопрос о способах создания воздействия.

Рассмотрим простейший случай возникновения К. в такой автономной системе. Представим себе массу $m$, подвешенную на пружине $S$ (рис. 1) (для упрощения рассуждений не будем принимать во внимание силы тяжести).Рис. 1 Если отклонить массу от положения равновесия в вертикальном направлении или сообщить ей в том же направлении начальную скорость, то масса $m$ будет двигаться то вверх то вниз, многократно проходя через положение равновесия, т. е. масса $m$ будет совершать колебания. Такие колебания называют свободными. Если бы в этой модели отсутствовали сопротивление воздуха и трение внутри самой пружины, а крепление пружины в точке а было бы абсолютно жестким, то в рассматриваемом устройстве не происходило бы потерь энергии, и груз совершал бы свои К. как угодно долго, не уменьшая размахов. К. происходили бы за счет того начального запаса энергии, которым обладала система в виде потенциальной энергии растянутой пружины или кинетической энергии груза, обладающего начальной скоростью. При колебаниях в такой системе происходят попеременно превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Пока отклонения груза, а, значит, и растяжения пружины не очень велики, силу, с к-рой действует растянутая или сжатая пружина на груз, можно считать пропорциональной растяжению, т. е. положить $F=-kx$. Тогда уравнение движения массы $m$ по второму закону Ньютона напишется след. обр.:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

Решением этого уравнения являются гармонические функции sinus или cosinus.

Масса $m$ будет совершать т. н. гармонические, или синусоидальные, К., т. е. отклонения массы от положения равновесия будут выражаться так:

$x=A\sin(\omega _{0}t+\varphi )$

(1)

Здесь $A$ — наибольшее смещение массы, или амплитуда смещений; $\omega _{0}$ — число К., к-рое совершит масса за $2\pi$ секунд, или угловая частота К. (она связана с «обычной» частотой $f$, т. е. с числом К. в одну секунду, и с периодом $T$, т. е. с продолжительностью одного К., соотношением: $\omega _{0}=2\pi f={\frac {2\pi }{T}}$); $\varphi$ — начальная фаза К. Три величины — $A$, $\omega _{0}$ и $\varphi$ — характеризуют гармонические К. Из них одна $\omega _{0}$ зависит от свойств системы — массы груза $m$ и коэффициента упругости $k$ — и определяется соотношением: $\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}$.Рис. 2 Две других величины, $A$ и $\varphi$, не зависят от свойств системы и определяются начальными условиями: $A$ — начальным отклонением и начальной скоростью, а $\varphi$ — началом отсчета времени. Таким образом, $\omega _{0}$ не зависит от $A$; это значит, что рассматриваемое нами устройство может совершать К. с любой амплитудой при неизменной частоте К. (изохронизм). Эту свойственную самому устройству частоту К. принято называть собственной частотой системы. Соответственный период есть собственный период системы. Изохронизм в рассматриваемом устройстве обусловлен тем, что силы, а значит и ускорения, пропорциональны смещениям.

Подобные же К., но, конечно, не механические, а электрические, могут происходить в электрическом контуре, составленном из емкости и катушки самоиндукции (рис. 2) (причем заряд на конденсаторе будет соответствовать смещению груза, а сила тока в цепи — скорости груза). Для того чтобы вызвать электрич. К. в таком контуре, надо сообщить конденсатору начальный заряд или в катушке контура возбудить ток. При этом индуктивность катушки $L$ будет играть такую же роль, как масса $m$, а емкость $C$ — такую, как ${\frac {1}{k}}$ — «податливость» пружины (величина, обратная упругости пружины). Подобно тому как в первом случае считалось, что пружина подчиняется закону Гука, т. е. что коэффициент упругости пружины есть величина постоянная, и здесь предполагается, что емкость конденсатора постоянна (напряжение на конденсаторе пропорционально заряду) и индуктивность катушки также постоянна (второму предположению в механич. модели соответствует предположение, что масса груза постоянна; при этом условии электродвижущая сила самоиндукции пропорциональна скорости изменения силы тока). Наконец, предположению об отсутствии сопротивления движению груза здесь соответствует предположение об отсутствии электрич. сопротивления в контуре. При этих допущениях получается вывод, что в контуре могут происходить гармонич. К. с собственной частотой ($\omega _{0}$ (определяемой соотношением $\omega _{0}^{2}={\frac {1}{LC}}$ — формула Томсона) и любой амплитудой, определяемой только начальными условиями. В обоих упомянутых случаях К. предполагалось, что упругости и массы или емкости и самоиндукции постоянны, а это приводит к тому, что дифференциальные уравнения, описывающие поведение рассматриваемой системы, оказываются линейными. Этот термин принято распространять и на самые колебательные устройства. Однако предположения о том, что свойства системы не зависят от происходящих в ней процессов, не всегда соблюдаются. В большей или