Страница:БСЭ-1 Том 33. Классы - Конкуренция (1938)-1.pdf/172

меньшей степени эта зависимость всегда имеет место; напр., закон Гука справедлив только при не слишком больших удлинениях пружины. В специальных случаях эта зависимость может, быть весьма значительна, напр. индуктивность катушки с железным сердечником очень сильно зависит от силы протекающего по ней тока. При рассмотрении поведения систем, обладающих такими свойствами, приходят к нелинейным дифференциальным уравнениям; поэтому и рассматриваемые устройства называются нелинейными. В какой степени учет указанных усложнений является необходимым, зависит не только от свойств самой системы, но и от того, какие поставлены вопросы. В зависимости от этого одно и то же устройство можно рассматривать либо как систему нелинейную, либо как линейную. В нелинейных системах также могут происходить К., но уже несинусоидальной формы. К таким несинусоидальным К. уже неприменимы, строго говоря, понятия амплитуды и фазы, введенные нами для гармония. К. Однако и в случае негармонич. К. принято говорить об амплитуде К., понимая под этим наибольшие размахи К. В нелинейной системе без трения амплитуда К. (так же, как и в линейной) зависит от начальных условий; частота же К. зависит не только от свойств системы, но и от амплитуд К., т. е. изохронизм не имеет места. Это обусловлено как-раз тем, что самые свойства системы зависят от происходящих в ней процессов. Таким образом, понятие собственной частоты системы в нелинейных системах теряет смысл. — Если в нелинейных системах отсутствуют потери энергии, то снова получаются стационарные К. с постоянной амплитудой. Системы, в к-рых не происходит потерь энергии, принято называть консервативными (см. Консервативная система сил). Следовательно, в консервативных системах, независимо от того, рассматривают ли их как линейные или как нелинейные, могут происходить стационарные К. с любой амплитудой, определяемой начальными условиями.

Однако в реальных физич. устройствах всегда действуют силы, имеющие характер трения и вызывающие потери энергии.Рис. 3 Такие системы, в которых происходят потери энергии, называются диссипативными. Очевидно, что в диссипативных системах начальный запас энергии, сообщенный системе, убывает при К., и, значит, амплитуды К. должны убывать, т. е. К. должны быть затухающими (в отличие от этого, стационарные К. часто называют незатухающими). Характер затухания К. зависит от характера сил, вызывающих потери энергии. Простейший случай представляют механич. системы с силой трения, пропорциональной скорости, или электрич. контуры с постоянным электрич. сопротивлением; затухание при этом происходит по показательному закону. Рассмотрим электрический контур, который, кроме емкости $C$ и индуктивности $L$, обладает еще постоянным сопротивлением $R$ (рис. 3).

Этот контур, поскольку почти вся его емкость сосредоточена в конденсаторе, можно рассматривать как квазистационарный и применять к нему законы Кирхгофа. В отсутствии внешних электродвижущих сил в контуре существует только электродвижущая сила самоиндукции $-L{\frac {di}{dt}}$ или $-L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}$, если $i$ — сила тока в контуре, а $q$ — заряд на обкладках конденсатора. С другой стороны, в контуре существуют падения напряжения на сопротивлении $=R{\frac {dq}{dt}}$ и на конденсаторе $={\frac {q}{c}}$. Следовательно, по второму закону Кирхгофа $-L{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}=R{\frac {dq}{dt}}+{\frac {q}{c}}$ или ${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+2h{\frac {dq}{dt}}+\omega _{0}^{2}q=0$, где $h={\frac {R}{2L}}$ и $\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$. Решением этого уравнения служат показательные функции вида $A\mathrm {e} ^{kt}$, где $k$ — корень характеристического уравнения:

$k^{2}+2hk+\omega _{0}^{2}=0$.

В том случае, когда $h^{2}<\omega _{0}^{2}$, т. е. $\left({\frac {R}{2L}}\right)^{2}<{\frac {1}{LC}}$ уравнение имеет два комплексных сопряженных корня $k_{1,2}=-h\pm i\omega _{1}$, где $\omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-h^{2}}}$, и полное решение исходного уравнения имеет вид:

$q=A\mathrm {e} ^{(-h+i\omega _{1})t}+B\mathrm {e} ^{(-h-i\omega _{1})t}$.

Пользуясь формулой Эйлера для перехода от показательных функций с мнимым показателем к гармоническим функциям, можно привести решение к виду:

$q=A_{0}\mathrm {e} ^{-{\frac {R}{2L}}t}\sin {(\omega _{1}t+\varphi )}$,

(2)

где $\omega _{1}$ попрежнему определяется свойствами системы и выражается так:

$\omega _{1}={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}$.

Две других величины, $A_{0}$ (начальный заряд) и $\varphi$ — начальная фаза, определяются, как и прежде, начальными условиями.

В том случае, когда сопротивление контура не слишком велико, изменение заряда на обкладках конденсатора и изменения силы тока в цепи будут носить также колебательный характер, мало отличный от синусоидального. При большем сопротивлении К. очень далеки от периодических, и понятие периода по отношению к таким К. уже совсем неприменимо. Когда же сопротивление очень велико, в системе вообще уже не могут возникать К., и начальные отклонения затухают апериодически, т. е. спадают до ноля (без многократного прохождения через состояние равновесия). В этом случае системы называются апериодическими; системы же с малым сопротивлением, в к-рых могут происходить К., называются колебательными.

Действительно, если $\left({\frac {R}{2L}}\right)^{2}$ гораздо меньше ${\frac {1}{LC}}$ или ${\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}\ll 1$, то приблизительно процесс повторяется. За время $T_{1}=2\pi :$ ${\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}\approx 2\pi {\sqrt {LC}}$ синус вернется к прежнему значению, а функция $\mathrm {e} ^{-{\frac {R}{2L}}t}$ очень мало изменит свое значение — она уменьшится в $\mathrm {e} ^{-d}$ раз, где $d={\frac {R}{2l}}\cdot T_{1}\cong {\frac {R}{2L}}\cdot 2\pi {\sqrt {LC}}=\pi R{\sqrt {\frac {C}{L}}}$ (3); но по нашему предположению $R\cdot {\sqrt {\frac {C}{L}}}\ll 1$, следовательно, и $d$ гораздо меньше $1$ и $\mathrm {e} ^{-d}$ близко к единице. Следовательно, при достаточно малых $R$ будут происходить К., мало отличающиеся от синусоидальных. Различие это будет заключаться в том, что амплитуды К. не будут оставаться постоянными, а будут уменьшаться (рис. 4), образуя убывающую геометрическую прогрессию: отношение двух соседних амплитуд равно $\mathrm {e} ^{d}$, а натуральный логарифм этого отношения равен $d$. Поэтому $d$ носит название логарифмического декремента затухания. Чем больше $R$, тем быстрее затухают К., вместе с тем они становятся все меньше и меньше похожими на периодические. Пока $R$ мало и К. еще мало отличаются от периодических, можно, хотя и не вполне строго, применять к ним термин «период»; этот «псевдопериод» $T_{1}={\frac {2\pi }{\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}}$ при малых В близок к собственному периоду контура $T=2\pi {\sqrt {LC}}$.