Страница:БСЭ-1 Том 33. Классы - Конкуренция (1938)-1.pdf/173

Когда сопротивление контура столь велико, что $h^{2}>\omega _{0}^{2}$, процессы в контуре вовсе не имеют колебательного характера. В этом случае корни характеристич. уравнения оказываются оба действительными, и процессы в контуре описываются линейной комбинацией двух показательных функций:

$q=A\mathrm {e} ^{k_{1}t}+B\mathrm {e} ^{k_{2}t}$.

При любых значениях постоянных $A$ и $B$, т. е. при любых начальных условиях, $q$ не может больше одного раза пройти через ноль и в дальнейшем приближается к нолю асимптотически.

В том случае, когда сопротивление контура уже нельзя считать постоянным (точнее,Рис. 4 когда в контуре есть проводники, не подчиняющиеся закону Ома, напр., газовая разрядная трубка), линейность системы будет нарушена. Вместе с тем изменится и закон затухания К. — амплитуды будут убывать уже не по показательному закону, а как-то иначе. Но пока система остается диссипативной, т. е. пока все проводники обладают такими свойствами, что прохождение по ним тока связано с потерей энергии, К. всегда будут затухать и, следовательно, стационарные К. в диссипативных системах, как линейных, так и нелинейных, невозможны.

Между тем для техники имеют очень большое значение и для физики представляют особый интерес именно стационарные (незатухающие) К. Достаточно указать на то, что вся современная радиотехника пользуется только незатухающими К. Поэтому проблема возбуждения и поддержания стационарных К. уже давно привлекла внимание физиков и техников. Из сказанного ранее сразу видно, в каком направлении следует искать решения проблемы поддержания стационарных К. Причиной затухания К. являются потери энергии, обусловленные наличием сил, подобных силам трения. Силы этого типа существуют во всякой реальной системе, и устранить их невозможно. Впрочем, даже если бы их и удалось устранить, это не было бы решением вопроса, ибо нас интересуют такие источники стационарных К., к-рые способны отдавать энергию различным потребителям, т. е. в которых стационарные К. происходят, несмотря на наличие потерь и отдачу энергии. Следовательно, решение проблемы возбуждения стационарных К. следует искать не в устранении потерь энергии, а в компенсации их за счет какого-либо специального источника энергии. Можно было бы попытаться осуществить такое устройство, в котором обеспечена компенсация потерь энергии в каждый отдельный элемент времени, т. е., чтобы в каждый элемент времени в систему из источника поступало в точности столько же энергии, сколько расходуется в самой системе. Однако осуществить компенсацию потерь энергии оказывается возможным только в среднем за период; в связи с этим системы, создающие стационарные К., приобретают черты, существенно отличающие их от консервативных систем. Это различие заключается прежде всего в том, что компенсация потерь энергии в среднем за период происходит не при любых, а только при каких-то определенных амплитудах К. Поэтому интересующие нас устройства могут создавать стационарные К. не произвольной, а вполне определенной амплитуды, не зависящей, вообще говоря, от начальных условий и определяемой свойствами самого устройства. Начальные условия играют роль только в вопросе возникновения К., от них зависит ход установления К., а иногда и самая возможность возникновения стационарных К. Стационарные К. происходят в таких системах не за счет начального запаса энергии (как это имеет место в консервативных системах), а за счет систематич. поступления энергии из какого-либо источника энергии. Такие колебания носят название автоколебаний. Устройства, способные создавать автоколебания, называются автоколебательными системами.

Всякое автоколебательное устройство должно, очевидно, обладать, во-первых, резервуаром энергии, из к-рого черпается энергия для компенсации потерь, и, во-вторых, каким-то механизмом, регулирующим поступление энергии из резервуара таким образом, чтобы за период в систему поступало бы как-раз нужное количество энергии. Этот механизм не только определяет количество поступающей из резервуара энергии, но и обеспечивает поступление этой энергии в нужном темпе. Типичными примерами автоколебательных устройств могут служить среди механич. систем часы, а среди электрических — ламповый генератор, применяемый в радиотехнике для создания К. высокой частоты. И в том и в другом из автоколебательных устройств легко выделить названные нами основные элементы: в часах резервуаром энергии служит заведенная пружина или поднятая гиря, а механизмом, регулирующим поступление энергии к колеблющемуся маятнику, — т. н. храповое устройство, передающее маятнику толчки от заведенной пружины в те моменты, когда маятник проходит через определенные положения. В ламповом генераторе, схема которого приведена на рис. 5, источником энергии служит анодная батарея Б, а регулирующим механизмом — электронная лампа, включенная по схеме обратной связи, т. е. со связью между цепью сетки и цепью анода.Рис. 5 В схеме, приведенной на рис. 5, эта связь осуществляется индуктивно из-за наличия взаимоиндукций $M$ между катушками $L$ и $L_{1}$ Благодаря обратной связи энергия из анодной цепи (поставляемая анодной батареей) может поступать в колебательный контур $LC$, включенный в цепь сетки. Для колебательного контура, включенного по схеме обратной связи, можно, пользуясь вторым законом Кирхгофа, составить уравнение, подобное тому, которое было составлено выше для обычного колебательного контура. Различие будет состоять лишь в том, что помимо электродвижущей силы самоиндукции, в контуре, благодаря обратной связи, будет еще индуцироваться электродвижущая сила, обусловленная изменениями анодного тока. Таким образом, уравнение для колебательного контура $LC$, включенного по схеме рис. 5, будет иметь вид:

$LC{\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+RC{\frac {dv}{dt}}+v=M{\frac {dJ_{a}}{dt}}$

(4)

(в этом случае удобнее в качестве независимой переменной выбрать не заряд $q$, a $v={\frac {q}{c}}$, т. е. напряжение на обкладках конденсатора). Далее мы должны принять во внимание, что $J_{a}$ есть некоторая функция от напряжений на сетке и аноде ламп. Для упрощения мы будем считать, что электродвижущие силы на анодной катушке $L_{1}$ малы по сравнению с напряжением батареи Б и что поэтому напряжение на аноде лампы можно даже при наличии К. в контуре считать практически постоянным. Тогда сила анодного тока есть функция только от напряжения на сетке $V_{g}$ или в нашей схеме от напряжения $v$ на обкладках конденсатора. Зависимость $J_{a}$ от напряжения на сетке всегда нелинейна уже по одному тому, что ток в лампе может течь только в одну сторону и что существует насыщение, т. е. как при уменьшении, так и при увеличении сеточного напряжения мы всегда в конце концов попадаем в области, где сила тока вообще не изменяется при изменении напряжения. Зависимость $J_{a}$ от $V_{g}$ обычно задается графически в виде т. н. характеристики анодного тока. Типичная характеристика приведена на рис. 6. Итак, мы можем написать

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {R}{L}}{\frac {dv}{dt}}+\omega _{0}^{2}v={\frac {M}{LC}}\varphi '(v){\frac {dv}{dt}}$,

(5)

где функция $\varphi (v)$ выражает зависимость $J_{a}$ от $v$. В некоторых пределах ее всегда можно задать аналитически. Мы можем привести уравнение (5) к виду

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {RC-MS}{LC}}{\frac {dv}{dt}}+\omega _{0}^{2}v=0$,

(6)

где $S=\varphi '(v)={\frac {d\varphi }{dv}}$ есть крутизна характеристики лампы (см. Электронная лампа).