КРИВИЗНАведомости»; с 1873 начал писать в «Отечественных записках»; напечатал в них свою работу «Физический труд, как необходимый элемент воспитания». В 1884 за близость к народовольцам К. был арестован и выслан в Сибирь.
По возвращении редактировал народнические «Новое слово» и «Сын отечества», сотрудничал в «Русском богатстве», там же напечатал свои статьи «Культурные скиты» и «Культурные одиночки в деревне», в к-рых выступил против русских марксистов и подвергся жестокой критике В. И. Ленина в его статье «Что такое „друзья народа44...»* (Ленин, Соч., т. I).
К. принадлежал к правому, либеральному крылу народничества. Ленин называл его типичным для «Русского богатства» политикомпрактиком; теоретические взгляды этого журнала Ленин характеризовал как «жалкую попытку склеить обрывки народнического учения с признанием капиталистического развития России» (Ленин, Соч., т. I, стр. 172).
КРИВИЗНА, название, объединяющее ряд величин, к-рыми пользуются в дифференциальной геометрии (см.) для того, чтобы оценивать степень отклонения кривой линии или кривой поверхности от прямолинейности или от плоскостности.
К. плоской кривой. Направление плоской кривойв точке М характеризуется уг. лом 0, к-рый образует у касательная к кривой / в точке М с осью абс/4^ цисс (ОХ). Скорость изменения угла 0 вдоль А кривой и называется / кривизной. Если Д£ — /1 длина дуги ММ' (см. рис.), где М — постоян — о- — /--------------------- х~ ная точка, а М' — подвижная, то К. в точке М определяется формулой к = аЬ =д<д lim _>0 Ab .
Среди плоских кривых наиболее отчетливое представление о К. связано с окружностью: последняя представляется нам одинаково искривленной во всех своих частях и притом тем сильнее, чем меньше радиус (В) окружности. И действительно, К. окружности постоянна и равна т. е. является величиной, обратной радиусу. В случае произвольной плоской кривой (С) мы можем в любой ее точке (М) построить окружность (т. н. соприкасающийся круг), наиболее тесно примыкающую к кривой С в точке М. Для этого берем на С две точки (М' и М"), бесконечно-близкие к М, и через три точки М, М', М" проводим окружность, предельное положение к-рой (когда точки М' и М", двигаясь по кривой, неограниченно приближаются к М) и даст соприкасающийся круг. К. кривой С в точке М равна К., какую имеет построенный для этой точки соприкасающийся круг. Центр соприкасающегося круга и его радиус называются центром К. и радиусом К. кривой С в точке М. Если кривая задана в Декартовых прямоугольных координатах уравнением y=f(x), то ее К. (к) и радиус К. (о) определяются формулами: d2y dx2
к =
L
Ux/J
П
L 4. — 1 — L Ux) J dx2
Заметим, что эти формулы дают для величин к и q определенный знак, зависящий от вы 58
пуклости и вогнутости (см.) кривой в точке М. — Если известен закон, по которому изменяется К. (к) как функция длины дуги (s), измеренной вдоль кривой от нек-рого начального пункта до точки М, то этим форма и размеры кривой вполне определены (произвольным остается только положение кривой на плоскости). Уравнение k=f(s), выражающее упомянутый закон, называется поэтому «натуральным (или внутренним) уравнением» кривой; все кривые, имеющие одно и то же натуральное уравнение, конгруэнтны друг другу (могут быть совмещены посредством наложения). Из смежных дисциплин теория К. находит наибольшее применение в теоретической и прикладной механике (ускорение в криволинейном движении, изгиб балок и др.).
Кривизна и кручение пространственных кривых. Для пространственной кривой сохраняют то же определение кривизны при помощи соприкасающегося круга. Однако теперь одного уравнения k=f(s) недостаточно для того, чтобы определить форму пространственной кривой. Например винтовая линия и окружность могут иметь во всех своих точках одну и ту же (постоянную) К., будучи существенно различными по форме. Для полного описания кривой вводят в рассмотрение еще одну величину — вторую К., или кручение, — характеризующую степень отклонения кривой от плоскостности. Для того чтобы получить кручение (а) в точке М пространственной кривой, строим в этой точке и в бесконечно-близкой точке М' той же кривой «соприкасающиеся плоскости» (т. е. плоскости соприкасающихся кругов, соответствующих точкам М и М'); если а — угол (острый) между этими плоскостями, то кручение а = lim когда точка М' неограниченно приближается вдоль кривой к М. У всякой плоской кривой кручение в любой точке равно нолю. Двумя «натуральными уравнениями» k=f(s), a=(p(s) пространственная кривая вполне определяется, если отвлечься от ее положения в пространстве. Отсюда название, часто применяемое к неплоским линиям, — «кривые двоякой кривизны».
К. поверхности. К понятию о К. поверхности мы приходим, рассматривая в точке М этой поверхности т. н. нормальные сечения. Для этого в точке М строим нормаль к поверхности и устанавливаем на этой нормали определенное («положительное») направление. Какаянибудь плоскость, проходящая через нормаль, даст в пересечении с поверхностью плоскую кривую — одно из нормальных сечений; остальные нормальные сечения получим, вращая плоскость вокруг нормали. Каждое нормальное сечение как плоская кривая имеет определенную К., которую мы еще снабдим знаком + или —, в зависимости от того, лежит ли центр К. этого нормального сечения на положительном или отрицательном луче нормали. Оказывается, что при полном обороте секущей плоскости вокруг нормали К. нормального сечения достигает один раз максимума и один раз минимума. Эти максимальная и минимальная К. называются главными К. поверхности в точке М; обратные им величины (Ki и Rz) — радиусами главных К. Полусумма (иногда сумма) главных К. называется средней К. (Н), а произведение их — полной или гауссовой К. (К) поверхности в данной + 4-), К = р 1-- . Если поверхее точке: Н = 4 ( \ JrC 1 #2 / -til Н2 ность задана в Декартовых прямоугольных координатах уравнением z = /(х, у), то 2Н = 2pqs — (1 + q2) г — (1+p2) t = rt-s2 (1 р2 + g2) 3/2
’
(l + p2+q2) 2’
где, как обычно, _ dz ___ dz _ d*z _ d'2z _ d%z P
dx ’ ® dy ’ T ~ dx* ’ S dx dy ’ ~~ dy% В зависимости от характера геометрического исследования на первый план выступает то средняя, то полная
