К. Подобно тому, как на плоскости среди всех дуг, имеющих общие концы, наименьшей длиной обладает дуга нолевой К. (прямолинейный отрезок), точно так же в пространстве среди всех кусков поверхностей, ограниченных одним и тем же замкнутым контуром, наименьшую площадь представляет кусок поверхности с нолевой средней К. (т. н. минимальная поверхность). Такие минимальные поверхности могут быть реализованы с помощью мыльных пленок, образующихся на проволочном каркасе («опыты Плато»). — Если подвергнуть поверхность «изгибанию без складок и разрывов», т. е. такой деформации, при к-рой длины всех линий, начерченных на поверхности, сохраняются, то средняя К. при этом, вообще говоря, изменяется, но полная К. сохраняет в каждой точке прежнюю величину. Например полную К., равную нолю, имеет не только плоскость, но также конус, «цилиндр», вообще — любая поверхность, допускающая развертывание на плоскость. В силу этого полная К. играет важную роль в тех исследованиях, к-рые посвящены т. н. внутренней геометрии поверхности, не зависящей от того, какую форму мы придаем этой поверхности в объемлющем ее трехмерном пространстве (см. Геометрия). К внутренней геометрии относится, напр., свойство поверхности иметь в данной точке fc > 0 («эллиптическая точка») или Л<0 («гиперболическая точка») или fe = 0 («параболическая точка»). Особый интерес представляет внутренняя геометрия на поверхностях постоянной (т. е. одинаковой во всех точках) полной К. Так, на поверхности постоянной отрицательной К. (псевдосфера, см.) осуществляется неевклидова геометрия Лобачевского.
Все, что говорилось о К. до сих пор, относилось к обычному пространству, изучаемому с точки зрения «группы евклидовых движений». В новейших геометрических системах («афинно-дифференциальная геометрия», «проективно-дифференциальная» и др.), в основу к-рых положены другие группы преобразований, К. возникает уже не из сопоставления кривой линии или поверхности с прямой или плоскостью, а появляется каждый раз как простейший (в известном смысле) дифференциальный инвариант (см.) рассматриваемой группы.
Лит.: ГурсаЭ., Курс математического анализа (вновь проем, и перераб. по 5 франц. изд. В. В. Степановым), 3 изд., т. I — II, М. — Л., 1936; БлашкеВ., Дифференциальная геометрия, геометрические основы теории относительности Эйнштейна..., М. — Л., 1935.
КРИВИЧИ, славянское племя, жившее в вер ховьях Днепра, Западной Двины и Ловати.
На востоке поселения К. доходили до Верхней Волги у нынешнего г. Ржева. Гранича на B. иЮ.-В. с вятичами, К. занимали левый берег течения Угры и верховья Десны. Южными и юго-западными. соседями К. были племена радимичей на Соже и дреговичи — на Днепре. К C. — З. и С. по среднему течению Зап. Двины обитали поляне, а по нижней Ловати и вокруг оз. Ильменя — славяне. Смысл и происхождение названия «К.» не выяснены. У соседних литовских народов термин «К.» сделался общим названием для всех восточных славян. Вещественными памятниками К. являются их могильные курганы и городища. Древнейшие курганы 9—10 веков сохранили следы почти исключительно сожжений трупов, совершавшихся или на стороне или на самой курганной площадке. В курганах находят железные и медные шейные гривны, медные фибулы, подвески в виде лунниц и в виде крестов, височные кольца в виде спиралей и т. д. Наиболее известным й богатым могильником такого типа является Гнездовский могильник близ Смоленска. Более богатые по инвентарю могилы Гнездовского могильника говорят о далеко зашедшем процессе социального расслоения населения Смоленска. Примерно с 11 в. трупосожжение уступило место погребению, в могилах обычно находят глиняные сосуды или деревянные ведерки с железными полосками и другие вещи, схожие с вещами из курганов Гнездовского типа. В городищах находят также обуглившиеся зерна ячменя, овса и пшеницы и с. — х. орудия — мотыги, серпы и жернова. Это указывает на земледелие как на главное занятие К. Найдены также следы льняных тканей. Еще в 9 веке К., спускаясь по Волге, основали колонию в районеозер Клещина и Неро — ядро будущего Ростово-Суздальского края. О дани, к-рая когдато шла оттуда, в Смоленске помнили еще в 12 в. Судя по этому колонизационному движению и по величине территории, занятой К., им среди славянских племен принадлежало одно из самых видных мест.
Лит.: Спицын А. А., Расселение древне-руссних племен по археологическим данным, «Журнал Мин. нар. проев.», СПБ, 1899, август; его же, Владимирские курганы, «Известия Археологической комиссии», СПБ, 1905, вып. 15; Лявданский А. Н., Некоторые данные о городищах Смоленской губернии, «Научные известия» [Смоленского государственного ун-та], Смоленск, 1926, т. III, вып. 3; СизовВ. И., Курганы Смоленской губернии, вып. 1, Гнездовский могильник близ Смоленска (Материалы по археологии России, № 28) > СПБ, 1902; Шахматов А. А., Древнейшие судьбы русского племени, П., 1919; Готье Ю. В., Железный век в восточной Европе, М. — Л., 1930, гл. IX.
КРИВОЕ ЗЕРКАЛО, театр, организованный в
1908 театральным критиком А. Р. Кугелем и актрисой 3. В. Холмской. Репертуар состоял из пародий и сатир, гл. обр. на театральные темы. Успех и имя театру создала известная пародия на оперную косность и традиционализм — «Вампука, во всех отношениях образцовая опера». Формалистический и аполитический театр «К. з.» в годы Великой Октябрьской социалистич. революции потерял зрителя и прекратил свое существование.
КРИВОЙ РОГ, город в Днепропетровской области УССР, выделен в самостоятельную административную единицу. Станция Сталинской ж. д. Быстро растущий промышленный центр: в 1926 было 31, 2 тыс. жит., в 1935—91, 5 тыс.
К. Р. — центр Криворожского железорудного бассейна (см.). Часть населения К. Р. занята на железных рудниках, расположенных внегорода. В К. Р. имеется: районная электростанция (45 тысяч кет), железный рудник> механический завод «Пневматика» и др. Строится и частично уже действует (1937) Криворожский металлургический завод (см.). — Из захудалого, неблагоустроенного городка в прошлом Кривой Рог при Советской власти превращен в благоустроенный пролетарский центр.
Значительная часть города замощена и озеленена, проведено электрическое освещение и т. д. В Кривом Роге имеются: педагогический ин-т, филиал Украинского ин-та труда, филиал Украинского железорудного и марганцового ин-та, горнорудный ин-т и т. д.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
КООРДИНАТЫ,
ТС
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ, интеграл (см.> вида fPdx, где с есть дуга, вдоль к-рой производится интегрирование, а Р — функция от двух переменных хиув случае К. и. на плоскости или от трех переменных х, у и & в случае К. и. в пространстве. Подробнее см..
Интегральное исчисление.
КРИВОНОС, Максим, крупнейший руководитель крестьянской войны на Украине (1647—1658), наиболее яркий выразитель интересов восставшего крестьянства. Отряды К., состоящие гл. обр. из крестьян, нереестровых казаков и городской бедноты, достигали 60 тыс.
Польская шляхта называла К. «гетманом казацкой голоты». В течение 1648 К. вел решительную и успешную борьбу против войск крупного польского магната Вишневецкого.
Отряды К. разгромили крупные силы шляхты и взяли десятки городов и местечек. Украинская казацкая старшина во главе с Хмельницким, заключив союз с польскими феодалами „
