•77
КРИВЫЕ — КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Наглядное содержание второго понимания термина «непрерывная кривая» выясняется, если, напр., считать переменное t за время. Тогда (1) выражает координаты точки, движущейся в течение единицы времени от некоторого начального до нек-рого конечного положения, и кривая во втором смысле есть не что иное, как множество точек (путь), пробегаемых в определенном порядке.
В соответствии с этой кинематической интерпретацией мы называем непрерывные кривые во втором смысле траекториями. Точка [/i (0), /2 (0)] называется начальной, точка [/i(l)> /г (01 — конечной точкой траектории.
Если эти точки совпадают, траектория называется замкнутой.
Непрерывные кривые в первом понимании этого термина называются также жордановыми (Jordan) или пеановыми (Peano) континуумами (см.). В данном случае отказ от слова «кривая» мотивирован тем, что среди пеановых континуумов имеются такие, которые никак нельзя назвать линиями: например квадрат, треугольник, куб, вообще любой кусок поверхности и любое тело в элементарном смысле этого слова является пеановым континуумом. В развитие результатов Мазуркевича (Mazurkiewicz) и Гана (Hahn) Серпинский доказал, что Ивановы континуумы тождественны с континуумами, обладающими следующими свойствами: при каждом е>0 их можно представить в виде (теоретико-множественной) суммы конечного числа континуумов диаметра < е.
Чтобы понять, каким образом, напр., треугольник является непрерывным образом прямолинейного отрезка, рассмотрим, с одной стороны, последовательное подразделение отрезка J на 2, 4, 8, ..., 2W, ... равных отрезков, с другой стороны — последовательное подразделение равнобедренного прямоугольного треугольника L. на столько же равных треугольников (фиг. 15). Те 2W равных отрезка (треугольников), на к-рые оказывается разбитым основной отрезок J (треугольник^) при n-ом подразделении, назовем отрезками ранга п и занумеруем их при посредстве дробей, не превосходящих 1, со знаменателем 2й.
При этом мы записываем эти дроби в двоичной нумерации, откидывая 0 целых и запятую. Таким образом получаем следующую нумерацию отрезков и треугольников первых трех рангов: 0 1 00 01 10 И
000 001 010 011 100 101 110 111.
Самый порядок нумерации ясен из чертежа. Таким образом, отрезки различных рангов взаимно-однозначно соответствуют треугольникам (тех же рангов). Если отрезок и треугольник соответствуют друг другу, то они занумерованы одной и той же двоичной дробью (одной и той же комбинацией нолей и единиц). Существенно следующее свойство этого соответствия: если два отрезка примыкают друг к другу (в одном ранге) или (в случае разных рангов) один из них лежит на другом, то этим же свойством обладают и соответствующие этим отрезкам треугольники.
Пусть I — какая-нибудь точка отрезка 0 < t < 1 и пусть п — натуральное число. Существует либо единственный отрезок ранга п [обозначим его через <5n(t)], содержащий точку t, либо два отрезка ранга п, общим концом к-рых является t; тогда обозначим через <5n(t) правый из этих двух отрезков. Через dn(t) обозначим треугольник, соответствующий отрезку <5n(t). Последовательность треугольников dn(t) есть (при п=1, 2, ... до бесконечности) убывающая последовательность, и существует одна единственная точка p=F(t), принадлежащая всем треугольникам dn(t). Абсциссу точки F(t) обозначим через />(0, ординату — через A(i). Можно без большого труда доказать, что когда t пробегает отрезок 0< t < 1, то точка p=F(t) пробегает все положения в треугольнике 4, другими словами, F(t) есть отображение отрезка 0< t< 1 на треугольник Л. Это отображение однозначно [т. е. каждому I соответствует единственная, вполне определенная точка p=F(t) треугольника]. Наконец, отображение F(t) равномерно-непрерывно, т. е. для достаточно близких I точки F(t) сколь-угодно мало отстоят друг от друга. Это последнее утверждение равносильно непрерывности функций /i(t) и f-M на всем отрезке 0 < t < 1. Таким образом, в нашем случае система уравнений (1) дает параметрическое представление треугольника в качестве непрерывной кривой.
Непрерывное однозначное отображение отрезка на треугольник или квадрат никогда не бывает взаимнооднозначным. Другими словами, при таком отображении всегда можно указать по крайней мере две (в действительности даже три) точки отрезка, отображающиеся в одну точку образа: отображению необходимо иметь кратные (в данном случае тройные) точки. Если имеем непрерывное отображение F(t) отрезка 0< t< 1, являющееся в то же время взаимно-однозначным (без кратных точек), то в качестве образа получим т. н. простую дугу. Это определение можно сформулировать короче так: простой дугой называется топологический (см. Топология) образ прямолинейного отрезка. Аналогично простой замкнутой линией наз. топологический образ окружности.
И те и другие линии могут обладать с метрической точки зрения сложной структурой, напр. могут ни в одной точке не иметь касательной, могут иметь положитель 78
ную площадь (и даже объем любого числа измерений), могут пересекаться с каждой прямой некоторой связки (в пространстве) и т. д.
В современной топологии кривые (точнее — канторовы кривые) определяются как континуум размерности 1. Континуум имеет по определению размерность 1, если при каждом е > о он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра < е таким образом, что нет ни одной точки, принадлежащей более чем двум из этих замкнутых множеств. Континуум, лежащий на плоскости тогда и только тогда являет-ся в этом смысле кривой, если он не содержит внутренности никакого круга (т. е. является нигде неплотным на плоскости).
Если мы рассмотрим график функции у — sin — для 1 х 0 < х ~ и прибавим к множеству точек этого графика все точки оси ординат, удовлетворяющие условию (фиг. 16), то получим канторову кривую, не являющуюся пеановым континуумом. Следующая теорема выясняет отношение понятия канторовой кривой к элементарногеометрическим фигурам. Континуум тогда и только тогда есть канторова кривая, если он сколь-угодно малой непрерывной деформацией может быть превращен в ломаную линию (т. е. множество точек, состоящих из конечного числа прямолинейных отрезков).
Лит.: ЧезароЭ., Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно-малых, ч. 2, Одесса, 1914; Loria Gr., Spezielle algebraische und transcendente Kurven, Lpz., 1910—11; Menge г К., Kurventheorie, Teubner; Мемуар Урысона П. С. в «Fundamenta Mathematicae», Bd VII, VIII, Warszawa, 1925, и в «Verhandelingen der К. Academie van wetenschappen», Amsterdam, 1928, Bd XIII.
КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, кривые, изобра жающие зависимости между значениями рассматриваемой случайной величины и соответствующими им числами наблюдений — «частотами» этих значений в данной совокупности.
Если т19 Ш29... 9т8 представляют частоты значений величины х, то К. р. получается посредством откладывания ординат, пропорциональных частотам против каждой из абсцисс х^. В том случае, когда признак х непрерывен (напр. при распределении новобранцев по росту или по весу), обычно предварительно разбивают шкалу признака на равные интервалы и подсчитывают частоты значений ж, попавшие в последовательные интервалы. К. р. получается в этом случае путем построения на каждом интервале подразделения прямоугольника с площадью, пропорциональной частоте этого интервала («частограмма»). Пользуются также «суммарной» К. р., указывающей для каждого данного значения х частоту тех значений признака, к-рые не превосходят х (напр. число умерших не позднее данного возраста из числа всех умерших в данном году). На рисунке приведена кривая распределения совокупности 1.375 женщин по росту (поданным Пирсона).
. К. р. служат отправным пунктом статистического исследования варьирующего признака.
Первые исследования явления изменчивости биологических признаков организмов методами массового обмера в первой половине 19 века привели к открытию удивительной закономерности формы К. р.: в большом числе кривых
