его лекций по элементарной геометрии в качестве учебника (лекции эти увидели свет лишь в 1909). Отказ был основан на отзыве акад. Фусса, к-рый указал, что это сочинение непригодно в качестве учебной книги для школ, и подчеркивал, что оно, сверх того, носит печать влияния «идей французской революции». Книга Л. действительно написана под явным влиянием идей Д’Аламбера, но это есть наиболее ценное ее достоинство. После этого отказа отношения между Л. и Магницким крайне обострились. В ту пору Л. усиленно занимался теорией параллельных линий (см.), интересовавшей тогда многих выдающихся математиков. Задача здесь заключалась в том, чтобы на основе предшествующих постулатов или аксиом, приведенных в «Началах» Эвклида (см.), доказать постулат о параллельных линиях (т. н. V постулат или XI аксиома Эвклида). В простейшей своей формулировке этот постулат гласит, что в плоскости через точку, не принадлежащую нек-рой прямой, можно провести только одну прямую, не встречающую данной прямой. С попыток доказать этот постулат начал свои исследования и Л. Тщательное размышление привело, однако, Л. к сознанию, что эти доказательства ошибочны. Быть может, в качестве последней попытки все же доказать постулат Л. (как это и до него делали многие другие) становится на путь доказательства от противного. Он допускает, что из точки, лежащей вне данной прямой, можно в их плоскости провести больше одной прямой, не встречающей данную, и рассчитывает, что выводы, отсюда проистекающие, приведут к противоречию с установленными предложениями геометрии; они, т. о., опровергнут сделанное допущение, и этим будет выполнено доказательство постулата. Но к такому противоречию Л. не пришел. Напротив, тонко и смело развертывая один вывод за другим, Л. построил, на основе этого допущения, новую своеобразную геометрию, глубоко отличающуюся от традиционной геометрии Эвклида и потому названной Гауссом неэвклидовой (см. Геометрия, гл. Неэвклидова геометрия). В математике это был глубоко революционный замысел, совершивший переворот в геометрии, представлениях. Свои новые идеи Л. изложил в заседании факультета 11/II 1826, а в 1829—30 — в «Казанском вестнике» напечатал мемуар «О началах геометрии», частично воспроизводящий извлечение из доклада 1826 и содержащий первое изложение новой геометрии с обширными интегральными вычислениями в качестве ее приложений. Изложение самой неэвклидовой геометрии здесь поражает своей краткостью, далеко превосходящей обычную сжатость математич. мемуаров. Сочинение это понято не было, а господствовавшая в официальной науке атмосфера консервативной узости мысли привела к тому, что в петербургском журнале «Сын отечества» (№ 41, стр. 407, 1834) был помещен грубый пасквиль на Л. Возражение Л. не было принято к печати.
В 1835 и 1836 Л. опубликовал в «Ученых записках Казанского университета» две другие работы: «Воображаемая геометрия» (так Л. назвал открытую им геометрию) и «Приложение воображаемой геометрии к некоторым интегралам», посвященные гл. обр. дифференциальной геометрии и новым интегральным вычислениям. В 1837 первый из этих мемуаров был также опубликован на франц. языке с небольшими изменениями в «Журнале Крелля». Указанные три работы содержат, по существу, все действительно созданное Л. — построение неэвклидовой (гиперболической) геометрии и многочисленные применения к вычислению определенных интегралов, содержащих гиперболические функции (см.) (значения ряда таких интегралов им установлены впервые).
На возможность существования геометрич. системы, отличной от эвклидовой и от системы Л., указал Риман (см.) в знаменитой лекции «Ueber die Hypothesen, welche der Geometric zu Grunde liegen» (1854). В намеченной Риманом геометрич. системе все прямые представляют собой замкнутые линии, имеющие одну и ту же конечную длину; две прямые, находящиеся в одной плоскости, всегда пересекаются в двух точках. Системы Лобачевского — Больяй и Римана называют неэвклидовыми геометриями в тесном смысле этого слова.
Дальнейшие геометрич. работы Л. имеют целью сделать эти исследования более доступными и убедительными. Важнейшими из них являются «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» («Ученые записки Казанского университета», 1835—38) и «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien». Первое из них является самым обширным по размерам и обстоятельным сочинением Л. Оно содержит попытку построить всю элементарную геометрию (с тригонометрией), подобно Эвклиду, на новых началах. Л. создал важнейшие принципы, согласно к-рым должно быть основано построение элементарной геометрии на точной аксиоматике, но принципы эти еще нуждались в развитии и углублении, и самое построение логически выдержанной системы элементарной геометрии он не довел до конца. «Geometrische Untersuchungen...» содержат изложение начал неэвклидовой геометрии и представляют собой попытку в доступном виде ознакомить западных читателей с идеями, к-рые не были восприняты в России. Это небольшое произведение представляет собой образец геометрич. творчества, сохранивший по настоящее время не только по существу, но и по методу изложения глубокий интерес; с его изучения следует начинать при желании ознакомиться в подлиннике с сочинениями Л. Оно переведено на французский, английский, итальянский, сербский языки; два издания разошлись в Японии; на русском языке оно появится только в первом томе ныне издаваемого полного собрания сочинений Л.
По своим философским воззрениям Л., тщательно изучавший Канта (сохранился составленный им конспект важнейших сочинений Канта), был решительным его противником, критикуя его, по существу, с позиций материализма. В противоположность субъективно-идеалистич. воззрениям Канта, утверждавшего, что представления о пространстве являются априорными, т. е. не зависящими от опыта, Л. считал, что опыт должен решить, какая геометрия — «употребительная» или «воображаемая» — действительно соответствует природе. Предположение, что «воображаемая» геометрия может соответствовать природе, служило источником наиболее острых нареканий на Л. Между, тем, новейшие исследования в области физики дают основание считать, что геометрия нашего пространства — неэвклидова, хотя и иной разновидности. Лишь в пределах небольшой части пространства соотношения неэвклидовой геометрии при ограниченной точности наших наблюдений не отличимы от эвклидовых. Чрезвычайно важно, что все формулы неэвклидовой геометрии содержат нек-рую постоянную (параметр), именуемую обыкновенно кривиз-
